가장 좋은 배우자를 선택하는 전략?

해마다 이맘때 피는 쑥부쟁이를 좋아한다. 젊은 시절엔 울긋불긋 화려한 꽃이 좋더니 이제 은은한 빛깔로 수줍게 피는 꽃이 더 좋다. 새하얀 구절초도 좋지만 은은한 보랏빛으로 피는 쑥부쟁이도 좋다. 흔한 들꽃이지만 도심에선 좀처럼 만나기 어렵다. 자전거를 타고 얼마 안 가서 쑥부쟁이를 만난다. 반가운 마음에 바로 내려서 사진을 찍는다. 덤불을 헤치고 들어가 몇 장 찍고 다시 자전거를 타다가 지천으로 핀 쑥부쟁이를 만난다. 조금 참고 기다리면 훨씬 예쁜 사진을 쉽게 찍을 수 있다고 생각하며 웃음 짓는다. 인생사 너무 서두르지 않아도 괜찮다.

이런 상황에서 뜬금없이 수학 문제를 떠올리는 직업병이 있다. 수학 선생만 재미있다고 우기는 생활 속 수학 문제를 하나 소개한다. 옛날에 수업 시간에 냈다가 별다른 좋은 반응을 얻지 못했던 문제다.

지금 사귀고 있는 사람과 결혼을 망설이고 있는가? 혹시 운명 같은 사람이 나타날까 걱정된다면 지금 사랑은 몇 번째인가 따져보라. 헤어진 사람이 셋이 넘는다면 망설이지 말고 결혼해도 된다. 더 좋은 사람을 만날 가능성은 점점 낮아진다.

맘에 드는 이가 어떤 사람이라도 그 사람과 사귈 수 있는 능력자라고 가정하고 10명을 만날 수 있다고 가정하자.

 $A_1,A_2 A_3,\cdots ,A_{10}$와 만날 수 있고 번호가 빠른 이가 더 좋은 인연이라고 놓자. 누가 더 먼저 당신 앞에 나타날지는 정해지지 않았다. 이제 가장 좋은 사람인 $A_1$과 결혼하는 전략을 세워보자.

전략 1. 첫사랑과 무조건 결혼한다.

첫사랑이 바로 $A_1$일 확률은 0.1이다.

전략 2. 다음으로 첫사랑과는 헤어지고 2번째 이후에 첫사랑보다 좋은 사람이 나타나면 결혼하기로 하자.

확률을 계산해 보자.

• 첫사랑이 바로 $A_1$이었다면 $A_1$과 결혼할 확률은 0이다.
• 첫사랑이 $A_2$였다면 그보다 나은 사람은 $A_1$뿐이므로 확률은 1이다. 확률은 $\displaystyle{\frac{1}{10}\times 1}$이다.
• 첫사랑이 $A_3$이라면 그 이후에 $A_1$이 $A_2$보다 먼저 나타나야 한다. 따라서 $\displaystyle{\frac{1}{10}\times \frac{1}{2}}$이다.
• 첫사랑이 $A_4$이라면 그 이후에 $A_1$이 $A_2 ,A_3$보다 먼저 나타나야 한다. 따라서 $\displaystyle{\frac{1}{10}\times \frac{1}{3}}$이다.

정리하면 $A_k$가 첫사랑이면 $A_1$과 결혼한 확률은 $\displaystyle{\frac{1}{10}\times \frac{1}{k-1}}$이다. (단, $k >1$인 자연수)

그러므로 확률을 모두 더하면

$$\frac{1}{10} \sum_{k=2}^{10}\bigg(\frac{1}{k-1}\bigg)=\frac{1}{10} \bigg(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}\bigg)=0.283$$

이다.

전략 3. 두 번째까지는 무조건 헤어지고 그 다음으로 두 번째까지 보다 더 나은 사람이 나타나면 결혼하는 전략을 쓰기로 할 때 $A_1$과 결혼할 확률은 이보다는 복잡하다.

첫사랑과 두 번째에 $A_1$이 있었다면 확률은 0이다.

첫사랑과 두 번째에 $A_2$가 있을 확률은 $\displaystyle{\frac{2\times 8 }{10\times 9}=\frac{8}{45}}$이고 둘보다 나은 이는 $A_1$ 뿐이므로 확률은 $\displaystyle{\frac{8}{45}\times 1 =\frac{8}{45}}$이다.

$A_3, A_4$와 같이 첫째나 둘째에 $A_3$이 가장 좋은 사람일 확률은$\displaystyle{\frac{2\times 7}{10\times 9}=\frac{7}{45}}$이고 그 뒤로 $A_1$이 $ A_2$보다 앞에 만날 확률은 $\displaystyle{\frac{1}{3}}$이다.

첫째나 둘째에 있는 가장 좋은 사람이 $A_k$이고 그 뒤로 $A_1$와 결혼할 확률은

$$\displaystyle{\frac{2\times {}_{10-k}P_{1}}{{}_{10}P_{2}}\times \frac{1}{k-1}=\frac{10-k}{45}\times \frac{1}{k-1}}$$

이다. 그러므로 확률은

$$\frac{1}{45}\bigg(\frac{8}{1}+\frac{7}{2}+\frac{6}{3}+\cdots+\frac{1}{8}\bigg)=0.366.$$

$r$번째까지 지나치고 그 다음에 이전 보다 좋은 사람이 나타나면 결혼하는 전략을 쓴다고 하고 일반적인 식을 적어보면 아래와 같다.

$$\displaystyle{\sum_{k=2}^{10-r+1}\frac{r\times {}_{10-k}P_{r-1}}{{}_{10}P_{r}}\times \frac{1}{k-1}}$$

계속해서 계산을 이어간다면 아래와 같은 표를 얻을 수 있다.

헤어진 사람 수	0	1	2	3	4
확률	0.1	0.283	0.366	0.399	0.398
헤어진 사람 수	5	6	7	8	9
확률	0.373	0.327	0.265	0.189	0.1

종합하면 세 사람을 사귀어 보고 다음에 찾아오는 인연이 앞에 만난 사람보다 더 좋으면 결혼하는 전략이 가장 확률이 높다. 앞에서 밝혔듯이 별로 좋은 반응을 이끌어내진 못했다. 다른 데서 이야기하면 사랑도 확률로 계산하는 이상한 사람이라는 따가운 눈총을 받을 수 있으므로 그냥 재미로 읽고 잊기를 바란다. 참고로 원래 문제는 가장 기름값이 싼 주유소를 찾는 전략을 세우는 문제다.