2021학년도 수능 수학 가형 30번

올해도 어김없이 30번 문제가 학생들을 힘들게 했다.

30. 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)=f(\sin^2 \pi x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

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(가) $0<x<1$에서 함수 $g(x)$가 극대가 되는 $x$의 개수가 $3$이고, 이때 극댓값이 모두 동일하다.
(나) 함수 $g(x)$의 최댓값은 $\displaystyle{\frac{1}{2}}$이고 최솟값은 $0$이다.

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$f(2)=a+b\sqrt2$일 때, $a^2 +b^2$의 값을 구하시오. (단, $a$와 $b$는 유리수이다.) [4점]

일단 문제 풀기 전에 갈 길이 머니까 깊이 숨을 들이 쉬어야 한다. 3차 함수에 삼각함수를 합성하였다. 그것도 무려 사인 함수를 제곱한 함수이다.

먼저 $h(x)=\sin^2 \pi x$라고 놓자. 당연히 그래프를 그려두면 좋다.

여기서 $0<x<1$일 때만 생각하면 된다.

3차 함수 $f(x)=x^3 +bx^2 +cx+d$라고 생각할 수 있겠으나 극값을 구하기 위해선 어차피 도함수를 구해야 하므로 일단 도함수는 아래와 같다고 놓자.

$$f^{\prime}(x)=3(x-\alpha)(x-\beta).\tag{*}$$

당연히 도함수가 위와 같이 인수분해되지 않거나 $\alpha=\beta$인 경우도 생각해야 한다. 이것을 일단 풀면서 해결하도록 하자.

먼저 $g(x)=f(\sin^2 \pi x)=f(h(x))$를 미분하자.

$$g^{\prime}(x)=f^{\prime}(h(x))h^{\prime}(x)=f^{\prime}(h(x))\cdot 2\pi \sin \pi x \cos \pi x.\tag{1}$$

(1)에서 극값을 가질 가능성이 있는 $x$는 아래 방정식에서 구할 수 있다.

$$f^{\prime}(h(x))=0\tag{2}$$

$$2\pi \sin \pi x \cos \pi x=\pi \sin 2\pi x =0\tag{3}$$ 

(2)에서 $h(x)=\alpha$ 또는 $h(x)=\beta$를 얻을 수 있고 (3)에서 $x=\displaystyle{\frac{1}{2}}$를 얻을 수 있다.

함수 $f$의 도함수가 *와 같지 않다면 극대가 되는 점이 (가) 조건처럼 3개가 될 수 없음을 확인하자. 또한 $0<\alpha,\beta<1$이다. 이제 극값이 될 가능성이 있는 점을 아래 그림과 같이 이름을 붙이자.

(1)에서 증감을 조사하면 $x$가 $\alpha_1 , \displaystyle{\frac{1}{2}} , \alpha_2$ 함수 $g$가 극대이고 $x$가 $\beta_1 , \beta_2$에서 극소이다.

극대일 때를 정리하면 아래와 같다.

$$g(\alpha_1)=g(\alpha_2)=g\bigg(\frac{1}{2}\bigg).$$

정리하면

$$g(\alpha_1)=g(\alpha_2)=f(\alpha)=f\bigg(\sin \pi \frac{1}{2}\bigg)=f(1)$$

이제 함수 $f$를 따져 보자. 조건 (나)에서 경계인 $x=1$에서 극대이므로 극댓값이 바로 최댓값이다. 따라서 아래와 같다.

$$f(\alpha)=f(1)=\frac{1}{2}.\tag{4}$$

이때 $f^{\prime}(\alpha)=0$이므로 $f$도 $\alpha$에서 극대이다. 따라서, 평행이동한 그래프를 생각하면 아래와 같이 적을 수 있다.

$$f(x)=(x-\alpha)^2(x-1)+\frac{1}{2}\tag{5}$$

이쯤이면 답이 나올 때도 되었는데 아직 한 고비가 더 남아 있다. 최솟값을 가질 때는 언제일까? 두 가지 경우가 있다.

$x=0$일 때 최소이거나 극대가 되는 $x=\beta$일 때 최소가 될 수 있다.

1) $x=0$일 때 최소라면 $$f(0)=-\alpha^2 +\frac{1}{2}=0$$

$$\alpha=\frac{\sqrt 2}{2}$$

$\sqrt 2$가 나왔으므로 답임을 확신할 수 있다. 이걸 먼저 생각했다면 시간을 많이 번 셈이다. 일단 답부터 구해보자. 문제에서 $$f(2)=\bigg(2-\frac{\sqrt 2}{2}\bigg)^2(2-1)+\frac{1}{2}=4-2\sqrt 2 +\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=a+b\sqrt 2$$이다.

$a=5,\;\;b=-2$이므로 $a^2 +b^2 =29$이다.

2) $\beta$에서 최소라고 하면 어떻게 될까?

$$f(\beta)=(\beta-\alpha)^2(\beta-1)+\frac{1}{2}=0\tag{6}$$

먼저 (5)를 미분하면 $$f^{\prime}(x)=2(x-\alpha)(x-1)+(x-\alpha)^2=(x-\alpha)(3x-\alpha-2).$$

처음에 놓았던 도함수와 비교하면 $\displaystyle{\beta=\frac{\alpha +2}{3}}$이다. 이것을 (6)에 대입하여 정리하면

$$\bigg(\frac{\alpha +2}{3}-\alpha\bigg)^2\bigg(\frac{\alpha +2}{3}-1\bigg)+\frac{1}{2}=0$$

$$\bigg(\frac{-2\alpha +2}{3}\bigg)^2\bigg(\frac{\alpha -1}{3}\bigg)+\frac{1}{2}=0$$

$$\frac{4}{27}(\alpha -1)^3 =-\frac{1}{2}$$

$$(\alpha-1)^3 =-\frac{27}{8}$$

$$\alpha=-\frac{1}{2}<0$$

처음에 $0<\alpha<1$이 되는 까닭을 보였으므로 이 경우는 생각하지 않아도 된다.

$\blacksquare$

해가 갈수록 30번 문제를 푸는 것이 버겁다. 처음엔 도함수인 *를 부정적분하여 풀었는데 계산이 아주 지저분하여 남에게 보이기 싫은 풀이가 나왔다. 이제 은퇴각인 모양이다. 이런 문제는 수학적 사고보다 기계적인 훈련이 필요한 문제라는 말을 핑계로 삼아 본다. 나도 왕년엔 이런 문제 그냥 눈으로 쓱 풀 때가 있었다.^^