2024학년도 22번은 킬러 문항인가?

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

---

함수 $f(x)$에 대하여 

$$f(k-1) f(k+1)<0\tag{1}$$

을 만족시키는 정수 $k$는 존재하지 않는다.

---

$\displaystyle{ f^{\prime} \bigg(-\frac{1}{4}\bigg)=-\frac{1}{4} ,\quad f^{\prime} \bigg(\frac{1}{4}\bigg)<0}$일 때, $f(8)$의 값을 구하시오. [4점]

오랜만에 수능 문제를 푼다. 평가원장을 갈아치울 때, 과연 킬러 문항이 사라질 것인가 의심했다. 사실 킬러 문항에 관한 명확한 정의가 없다. 존재하지 않는 것을 없애는 일은 불가능하다. 공통 문항 맨 마지막 문제가 늘 어렵다. 신문을 보니 22번이 킬러인가 아닌가를 두고 의견이 분분하다. 이것도 아마 지지하는 당에 따라 나뉠 듯하다. 고등학교를 떠난 지 3년이나 된 탓일까 쉽게 풀지 못했다. 내 느낌으로는 킬러 문항인 듯하다. 킬러까지는 아니고 조금 어려운 문제도 필요하다고 생각한다.

풀이 

일단 벌써 조건이 쉽지 않다. 식을 만족시키는 정수 $k$가 존재하지 않으려면 어떻게 될까를 추론하는 것이 어렵다.

$$f(k-1) f(k+1)<0$$

함숫값 $f(k-1)$과 $f(k+1)$의 곱이 음수이므로 부호가 달라지는 $k$가 존재하지 말아야 한다. 다르게 말하면 부호가 같거나 적어도 하나가 $0$이면 된다. $0$보다 크다와 작다를 부호로 해석하는 것이 좋다.

함숫값의 부호를 따지기 위해 먼저 함수의 그래프가 $x$축과 만나는 점을 생각하자. $x$절편은 아래 방정식의 근이다.

$$f(x)=0\tag{2}$$

일단 3차함수는 $x$축과 만나는 점이 적어도 하나는 있다. 방정식 (2)는 아래와 같이 셋으로 나눌 수 있다. 

i) 근이 하나일 때, ii) 근이 둘일 때, iii) 근이 셋일 때

i), ii) 일 때는 조건을 만족시키는 정수 $k$가 존재함을 쉽게 알 수 있다.

그림과 같이 $k=[\alpha]$로 놓으면 조건 (1)을 만족시킨다. 

iii) 일 때는 근이 멀리 떨어져 있으면 조건을 만족시키는 정수  $k$가 존재한다. 그러면 얼마나 가까이 있어야 할까?

여기서 좀 어렵다. 처음엔 연속하는 세 정수를 해로 가져야 한다고 생각했는데 구해보니 정수가 나오지 않는다.

\begin{split}f(x)&=(x-(n-1))(x-n)(x-(n+1))\\&=x^3-3nx^2+(3n^2-1)x-(n-1)n(n+1)\end{split}로 놓고 도함수를 구한다,

$$f^{\prime}(x)=3x^2-6nx+3n^2-1$$

이때 \begin{split} f^{\prime} \bigg(-\frac{1}{4}\bigg)&=-\frac{1}{4}\\ \frac{3}{16}+\frac{3n}{2}+3n^2-1&=-\frac{1}{4}\\ 16n^2+8n-9&=0 \end{split}

정수인 $n$이 나오지 않아서 실패다.

다시 생각해 보니 굳이 모든 근이 정수일 필요가 없다. 가장 큰 근과 작은 근이 떨어진 거리가 2보다 작고 정수인 근이 2개면 될 것 같다.

또한 아래에 주어진 조건 $$\displaystyle{ f^{\prime} \bigg(-\frac{1}{4}\bigg)=-\frac{1}{4} ,\quad f^{\prime} \bigg(\frac{1}{4}\bigg)<0}\tag{3}$$

에 따라 $x=\pm 1/4$에서 감소상태에 있다. 따라서 구간 $[-1/4,1/4]$에서 근을 가진다,

어찌어찌 $f(0)=0$임을 알아내고 나니 벌써 시간이 한참 흘렀다. 아마도 수험생이었다면 포기했을 것이다.

결국 아래와 같은 꼴임을 찾았다. 이 과정도 모두 확인하려면 시간이 걸린다. 결국 풀이를 복잡하게 만들어서 난이도를 조정하려고 한 모양이다.

$$f(x)=x(x-1)(x-\alpha)=x^3-(1+\alpha)x^2 +\alpha x\tag{4}$$

(4)를 정하고 나면 다음 계산은 복잡하지 않다.

$$f^{\prime}(x)=3x^2 -2(1+\alpha)x+\alpha$$

$$f^{\prime}\bigg(-\frac{1}{4}\bigg)=\frac{3}{16} +\frac{1}{2}(1+\alpha)+\alpha=-\frac{1}{4}$$

$$\alpha=-\frac{5}{8}$$

$$\therefore\quad f(8)=483$$

더 자세한 풀이는 시간이 나면 다음에 그림을 첨부해서 올릴 계획이다.