조건부 확률 수능 시험에 꼭 나온다!

9월 평가원 모의고사 수리 가형 10번 문제다. 조건부 확률은 수능 시험에 단골로 나오는 문제임에도 생각하기 귀찮다고 대충 넘어가는 아이들이 많다. 다시 정리하고 넘어가자.

10. 남학생 수와 여학생 수의 비가 2:3인 어느 고등학교에서 전체 학생의 70%가 K자격증을 가지고 있고, 나머지 30%는 가지고 있지 않다. 이 학교의 학생 중에서 임의로 한 명을 선택할 때, 이 학생이 K자격증을 가지고 있는 남학생일 확률이 $\displaystyle{\frac{1}{5}}$이다. 이 학교의 학생 중에서 임의로 선택한 학생이 K자격증을 가지고 있지 않을 때, 이 학생이 여학생일 확률은?[3점]

먼저 조건부 확률은 표본공간이 바뀐다는 걸 알아야 한다. 사건 $B$가 일어났을 때 사건 $A$가 일어날 확률을 $P(A|B)$라고 쓴다. 표본공간이 $S$에서 $B$로 바뀌는 것이다. 따라서  $$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$와 같이 구해야 한다. 

문제로 돌아가면 전체 학생을 표본공간 S로 생각하고 남학생이 선택되는 사건을 A, 자격증을 가진 학생이 선택되는 사건을 B로 놓으면 된다. 문제에 주어진 조건들을 식으로 적으면 $$P(A) = \frac{2}{5}, \;\;P(A^c ) = \frac{3}{5}, \;\;P(B) = \frac{7}{10},\;\; P(B^c ) = \frac{3}{10}, \;\;P(A \cap B) = \frac{1}{5}$$이다.

구하려는 확률은 $P(A^c |B^c )$이므로 $ \displaystyle{\frac{P(A^c \cap B^c )}{P(B^c)}}$를 계산하면 된다.

$$P(A^c \cap B^c)=1-P(A \cup B)$$

$$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=\frac{2}{5}+\frac{7}{10}-\frac{1}{5}=\frac{9}{10}$$

$$\therefore P(A^c |B^c )=\frac{1}{3}$$

이런 문제를 풀 때는 아래와 같이 표를 만들어 생각하면 쉽다. 전체 학생 수를 100이라 놓고 풀어도 된다. ( )안의 수를 구하면 바로 구할 수 있다.

	K 자격증 있음 : 사건 $B$	K 자격증 없음 : 사건 $B^c$	계
남학생  사건 $A$	$\displaystyle{P(A \cap B)=\frac{1}{5}}$ ::::::(20)	(20)	$\displaystyle{\frac{2}{5}}$::::: (40)
여학생 사건 $A^c$	(50)	(10)	$\displaystyle{\frac{3}{5}}$:::: (60)
계	$\displaystyle{\frac{7}{10}}$ ::::(70)	$\displaystyle{\frac{3}{10}}$ ::::(30)	$1  $:::::::::::::::(100)

독립사건도 알아보자. 사건 $B$가 사건 $A$가 일어날 확률에 아무런 영향을 주지 않을 때 두 사건을 독립이라고 한다.

다시 말하면 $\displaystyle{P(A|B)=P(A|B^c )=P(A)}$이다.

사건 $A$와 $B$가 독립일 필요충분조건은 $P(A \cap B)=P(A)P(B)$이다.