인도 수학을 기록한 문서

호기심은 역사의 수레바퀴를 돌리는 원동력이다. 아주 먼 옛날부터 사람들은 방정식을 풀었다. 중학교 1학년에서 1차 방정식을 3학년에서 2차 방정식을 배운다. 2차 방정식의 근의 공식은 누가 처음으로 만들었을까? 2차 방정식을 가르치려고 교과서를 살펴보다가 찾은 자료를 정리해 둔다.

1881년 인도 북부에 있는 박샬리(지금은 파키스탄)에서 자작나무 껍질에 샤라다(shrada)로 기록된 문서가 발견되었다. 3~4세기 무렵 기록된 것으로 보이는 이 문서에 0을 포함한 인도-아라비아 숫자의 옛 모습과 여러 가지 수학적 내용이 기록되어 있다. 놀랍게도 아래와 같은 2차 방정식을 푸는 방법도 나온다고 한다.

$$ax^2 +(2b-a)x-2c=0, \quad a>0, \;\;c>0$$

오늘날 우리가 쓰는 표기법으로 적으면 위 방정식의 근은 아래와 같다.

$$x=\frac{-(2b-a)\pm\sqrt{(2b-a)^2 +8ac}}{2a}$$

흥미롭게도 이 문서에서는 2차 방정식의 근이 2개가 있음을 알았고 음수인 근까지 구했던 것으로 추측하고 있다.

이 문서에 제곱근의 근삿값을 구하는 방법이 나온다.

$Q$가 제곱수가 아닌 경우; 제곱한 값이 가장 가까운 근삿값 $A$를 구하고 제곱한 값을 뺀 나머지 $b=Q-2A$를 근삿값의 두 배 $2A$로 나눈다; 구한 분수의 제곱을 근사값과 분수의 합으로 나눈 값의 1/2을 구한다. 빼면 새로운 근삿값이 나온다.

오늘날 표현으로 바꾸면 아래와 같다.

$$\sqrt{Q}=\sqrt{A^2+b}=A+\frac{b}{2A}-\cfrac{\left(\frac{b}{2A}\right)^2}{2\left(A+\frac{b}{2A}\right)}$$

예를 들면 $\sqrt{41}$은 $A=6,\;b=5$이다.

$$\sqrt{41}=6+\frac{5}{2\cdot 6}-\frac{\left(\frac{5}{12}\right)^2}{2\left(6+\frac{5}{12}\right)}\approx 6.40313852814$$

이렇게 구한 값과 오늘날 계산기로 얻은 값과 상당히 가깝다. 게다가 뉴턴의 방법보다 38%나 더 빠르게 구할 수 있다고 한다.

$$\sqrt{41}\approx 6.40312423743$$

오늘날은 무척이나 허술한 나라로 보이는 인도이지만 몇몇 분야에선 상당히 뛰어난 인재가 나오는 것은 바로 이런 역사를 가진 나라이기 때문일 것이다. 

박샬리 문서_Bakhshali Manuscript 

Bakhshali manuscript - Wikipedia

mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Bakhshali_manuscript/

Bakhshali manuscript