2차 방정식을 대하는 자세

어쩌면 수학은 방정식을 풀기 위한 학문이다. 미지수를 알아내는 과정에서 우리는 필연적으로 방정식을 만나게 된다. 1차 방정식, 2차 방정식과 같은 다항 방정식부터 지수 방정식, 로그 방정식, 삼각 방정식에 이어 미분 방정식까지 새로운 걸 배울 때마다 풀어야 하는 방정식이 늘어난다.

수학에서 같은 알고리즘을 되풀이해야 할 때 그 알고리즘을 공식이라고 한다. 근을 구하는 알고리즘이 바로 근의 공식이다. 1차 방정식은 중학교 1학년에서 배우는데 워낙 간단해서 근의 공식으로 부르기도 민망하다. 

$$ax+b=0\;\;(a\not=0)\quad\Rightarrow\quad x=-\frac{b}{a}$$

2차 방정식의 근의 공식

오늘날 근의 공식

2차 방정식의 근의 공식은 중학교 3학년에서 배운다. 

$$ax^2+bx+c=0\;\;(a\not=0)\quad\Rightarrow\quad x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$$

외우면 모든 2차 방정식을 풀 수 있는 강력한 공식이다. 근의 공식을 암기하고 있으나 유도하는 방법을 모르는 학생이 제법 많다.

2차 방정식 $ax^2 +bx+c=0\;\;(a\not=0)$의 근을 구하는 방법을 알아보자.

1) $b=0$인 경우

2차 방정식에서 1차항 계수가 0이라면 1차 방정식과 마찬가지로 아래와 같이 쉽게 정리할 수 있다.

$$x^2 =-\frac{c}{a}$$

$c=0$이면 $x=0$이다. $ac<0$이면 좌변이 양수이므로 제곱근의 정의에 따라 근은

$$x=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$$

이다. $ac>0$이면 실근이 존재하지 않는다.

2) $b\not=0$인 경우

좌변이 간단하게 인수분해가 된다면 근을 쉽게 구할 수 있다. 일반적으로 완전제곱식을 활용하여 1)과 같은 꼴로 정리하여 근을 구할 수 있다.

예) $x^2 +6x-3=0\quad\Rightarrow\quad x^2 +6x+9=3+9\quad \Rightarrow \quad (x+3)^2 =12$

제곱근의 뜻에 따라 $x+3=\pm 2\sqrt3 \quad\Rightarrow \quad x=-3\pm2\sqrt3$

이 과정을 정리하면 근의 공식을 만들 수 있다.

$$ax^2 +bx+c=0$$

1. 2차항 계수로 양변을 나눈다. $$x^2 +\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$

2. 상수항을 이항한다. $$x^2 +\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. 1차항 계수의 반을 제곱하여 더한다. $$x^2 +\frac{b}{a}x+\bigg(\frac{b}{2a}\bigg)^2=-\frac{c}{a}+\bigg(\frac{b}{2a}\bigg)^2$$

4. 완전제곱식을 만든다. $$\bigg(x+\frac{b}{2a}\bigg)^2 =\frac{b^2 -4ac}{4a^2}$$

5. 제곱근을 구한다. $$x+\frac{b}{2a} =\pm{\frac{\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}}$$

6. 정리하여 근을 구한다. $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

위에서 $D=b^2 -4ac$라고 할 때, $D<0$이면 실근이 존재하지 않고 $D=0$이면 중근, $D>0$이면 서로 다른 두 실근을 가진다. 이 식 $D$를 판별식이라 부른다.

문제 유리수 범위에서 인수분해가 된다면 판별식은 어떤 수가 나올까?

2차 방정식의 근의 공식은 3차, 4차 방정식을 해결하는데 기초가 되므로 매우 중요한 공식이다. 중학교에서 배우는 어떤 공식보다 중요하다. 이 공식을 모르면 수학을 공부하는 것이 불가능하다.

바빌로니아의 공식

고대 바빌로니아인이 남긴 점토판에도 이차 방정식을 푸는 방법이 나온다. 그들은 직사각형의 변의 길이와 넓이 사이의 관계를 다루는 문제를 해결하려고 이차방정식을 풀었다. 점토판에 기록을 옮겨보면 아래와 같다.

$x+y=p,\;\;xy=q$라고 하면 $x,\,y$는 아래의 이차 방정식을 만족하는 근이다.

$$z^2+q=pz$$

1. p를 2로 나눈 값을 계산한다.

2. 1의 결과를 제곱한다.

3. 2의 결과에서 q를 뺀다.

4. 3에서 나온 값의 양의 제곱근을 찾는다.

5. 1의 값과 4의 값을 더한다.

오늘날과 같은 표현으로 옮기면 아래와 같다.

$$x=\frac{p}{2}+\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$$

브라마굽타의 공식

628년 인도 수학자 브라마굽타의 책에도 2차 방정식이 나온다.

이차 방정식 $ax^2+bx=c$의 근을 아래와 같이 구한다.

1. 이차항의 계수와 상수항 곱을 4배하고 중간항의 계수의 제곱을 더한다. 

2. 1의 양의 제곱근에서 중간항 계수를 뺀다.

3. 2의 값을 이차항 계수의 2배로 나눈다.

오늘날과 같은 표현으로 옮기면 아래와 같다.

$$x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}$$

알콰리즈미의 풀이

알 콰리즈미는 2차 방정식을 아래와 같이 여섯 가지로 나누어 풀이를 제시했다.

1. 제곱이 근과 같다. $ax^2=bx$
2. 제곱이 수와 같다. $ax^2=c$
3. 근이 수와 같다. $bx=c$
4. 제곱과 근의 합이 수와 같다. $ax^2 +bx=c$
5. 제곱과 수의 합이 근과 같다. $ax^2 +c=bx$
6. 근과 수의 합이 제곱과 같다. $bx+c=ax^2$

이들 가운데 한 가지 풀이를 적는다. 

$$x^2 +10x=39$$

왼쪽에 있는 식을 사각형 넓이로 생각하고 아래 그림과 같이 재배열하고 적당한 정사각형을 더해서 큰 정사각형을 만든다고 생각하였다.

위 그림을 오늘날 수식으로 정리하면 아래와 같다. 참고로 알 콰리즈미가 살던 이슬람 지역은 인도와 달리 음수는 해로 생각하지 않았다. 방정식의 계수도 양수인 경우만 생각하였기 때문에 오늘날 기준으로는 같은 꼴인 4, 5, 6을 구별하였다.

$$x^2 +10x+25=39+25$$

$$(x+5)^2 =64$$

$$x+5=8$$

$$x=3$$

 

 

고등학생이라면 아래 링크에 있는 3차 방정식의 풀이법도 구경해 보자.

https://suhak.tistory.com/301

3차방정식 풀이법