이런 것도 모를 수 있다

중학교 수학을 가르치면서 새삼스럽게 알게 된다. 처음 시작하는 이에겐 무엇이든 어렵다는 사실을 말이다. 아는 것에도 한계가 없지만 모르는 것에도 한계가 없다. 고등학생을 가르칠 때는 전혀 신경쓰지 않았던 음수의 개념과 같은 걸 이해시키는 일이 생각보다 쉽지는 않다. 지난 시간부터 1학년 두 번째 단원인 '문자와 식'을 시작했다. 

교과서에 아래와 같이 적혀 있다.

문자를 사용하면 구체적인 값이 주어지지 않은 수량이나 일반적인 수량 사이의 관계를 식으로 간단히 나타낼 수 있다.

중학교 1학년 학생들에게 '구체적, 일반적'이란 말이 무척 낯설어 글을 읽어도 모르는 이가 적지 않을 듯하다. 구체적인 값이 주어지지 않은 수량은 '미지수: 알지 못하는 수'로 일반적인 수량은 상수를 대신하는 문자로 설명하면 될 듯한데 오히려 더 어렵게 만들 것같아서 일단 넘어가기로 했다.

속도 $v$로 거리가 $s$인 지점까지 가는데 걸리는 시간은 얼마일까? 여기서 시간을 문자 $t$로 나타내면 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$s=vt$$ 

굳이 분석한다면 이 문제는 시간을 구하는 문제로 생각할 수 있으니까 문자 $t$는 미지수로 $v,d$는 일반적인 수량을 나타내는 상수로 볼 수 있다. 어떤 문자를 상수로 보고 미지수로 볼 것인가는 문제에 따라 다르다. 결국 미지수는 나중에 배우는 함수에서 변수와 연결된다고 보면 될 것이다.

지금 중학교 1학년 학생이라면 그냥 숫자를 대신해서 문자를 쓴다고 생각하면 된다. 다음으로 문자를 쓰는 식은 보통 곱셈 $\times$와 나눗셈 $\div$ 기호를 생략하는데 이게 처음에 헷갈릴 수 있으니 꼼꼼하게 살펴야 한다.

1. 수와 문자의 곱에서는 수를 문자 앞에 쓴다.

$$2\times a = 2a,\;\;a\times(-3)=-3a$$

2. 문자와 문자의 곱에서는 보통 알파벳 순서로 쓴다.

$$a\times x \times b= abx$$

3. 같은 문자의 곱은 거듭제곱으로 쓴다.

$$a\times b\times b\times a \times a=a^3 b^2$$

4. 괄호가 있는 곱셈에서는 곱해지는 수나 문자를 괄호 앞에 쓴다.

$$(x+y)\times 2=2(x+y),\;\;a\times(x-y)\times 3=3a(x-y)$$

5. 나눗셈 기호를 생략하고 분수의 꼴로 나타낸다.

$$a \div b=\frac{a}{b}$$

$1\times 2=2,\;\;(-1)\times 2=-2$와 같이 $1$, $-1$과 문자의 곱과 나눗셈은 $1$을 생략한다.

$$1\times x=x,\;\;(-1)\times x=-x,\;\;x\div 1=\frac{x}{1}=x,\;\; x\div (-1)=\frac{x}{-1}=-\frac{x}{1}=-x$$

$\displaystyle{x\div2=\frac{x}{2}}$이고 $\displaystyle{x\div 2=x\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}x}$이므로 아래와 같이 두 식은 같다.

$$\frac{x}{2}=\frac{1}{2}x$$

숫자를 앞에 쓰는 것은 문자 뒤에 숫자를 쓰면 잘못된 표현이 될 때가 있기 때문이다.

$$a\times 2+3\not=a2+3$$

처음 배우는 학생들은 괄호를 써야 할 때도 제대로 구별하지 못한다. 예를 들면 음수를 곱할 때 아래와 같이 잘못 쓰기도 한다.

$$a\times -2$$

나눗셈은 먼저 곱셈으로 바꾸고 정리하면 편하다.

$$a\div(-2)\times b=a\times \frac{1}{-2}\times b=-\frac{ab}{2}=\frac{-ab}{2}=\frac{ab}{-2}=-\frac{1}{2}ab$$

 

 

 

 

 

참고: 이것이 너무 간단하다고 생각해서 대충하면 아주 먼 훗날 만나는 문제 $(-a)(-b)=ab$임을 증명하라는 문제처럼 근본을 따질 때 어려움을 겪게 된다. 중학생은 여기까지 생각할 필요는 없다.