비례와 반비례

수학 이야기/중학교 수학 2021. 8. 20. 09:53
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시간은 모든 것을 변화시킨다. 어쩌면 시간은 유일한 독립변수다. 과학에서는 시시각각 변하는 양을 측정하여 앞으로 일어날 결과를 예측하는 것이 매우 중요하다. 변하는 양 사이의 관계는 함수로 따져야 하겠지만 중학교 1학년 과정에는 함수가 나오지 않는다. 먼저 정비례와 반비례만 확인하자.

다가서기
아주 정밀한 수도꼭지가 있다. 물이 분당 2L씩 나오도록 열어 놓았을 때 $x$분 동안 흘러나온 물의 양을 $y$L라 하자.

먼저 문자 $x,y$는 변하는 양인 시간과 물을 나타낸다. 이처럼 변하는 양을 나타내는 문자를 변수라고 한다.

여기에서 두 변수 $x$와 $y$ 사이의 관계를 표로 나타내면 아래와 같다.

$x$(시간) 1 2 3 4 5 6 7 $\cdots$
$y$(L) 2 4 6 8 10 12 14 $\cdots$

위와 같이 $x$의 값이 2배, 3배, 4배, $\cdots$로 변함에 따라 $y$의 값도 2배, 3배, 4배, $\cdots$로 변할 때, $y$는 $x$에 정비례한다고 한다.

일반적으로 $y$가 $x$에 정비례할 때, 두 변수 $x$와 $y$ 사이의 관계는$$y=ax\quad(a\not=0)$$와 같은 식으로 나타낼 수 있다.

중학교 교과서는 대체로 위와 같이 정비례를 시작하고 있다. 1학년임을 감안하더라도 용어를 더 명확하게 정의하고 단원을 시작해야 한다. 아니면 다가서기 문제를 $a<0$인 경우까지 다루어야 한다. 비례가 뭐냐는 물음에 $x$가 증가할 때, $y$도 증가하는 관계라고 어설프게 대답하는 이들이 매우 많다. 크게 잘못 알고 있는 것이다.

비례는 두 변수 $x,y$의 비율이 일정한 상수라는 것이 핵심이기 때문이다. $$x:y=1:a$$ 비례라는 말을 잘못 쓰는 경우가 너무 많아서 굳이 정비례라고 쓰고 있다고 생각한다.

참고 두 변수 $x$와 $y$ 사이의 관계를 $y=f(x)$라고 하자. 두 변수가 비례한다면 아래를 만족한다. (단, $k\not=0$)

$$f(kx)=kf(x)$$

양변을 $kx$로 나누었을 때

$$\frac{f(kx)}{kx}=\frac{f(x)}{x}$$이다. 이것은 $g(x)=\frac{f(x)}{x}$가 $x$의 값에 상관없이 상수임을 뜻한다. 이때 상수를 $a$라고 하면 $f(x)=ax$를 얻는다.

변수 사이의 관계는 그래프로 나타내면 쉽게 이해할 수 있다. 정비례 관계를 그래프로 나타내자. 이때 상수 $a$가 하는 역할에 주목해야 한다. 그래프는 방정식 $y=ax$를 만족하는 순서쌍 $(x,y)$를 좌표평면에 찍으면 된다. $a$의 값에 상관없이 $(0,0)$을 지난다. 또한 $(1,a)$를 지난다. 중학교 1학년 수준에서는 아래와 같이 그냥 두 점 $(0,0)$과 $(1,a)$를 지나는 직선이라고 생각하자. 

정비례 관계 $y=ax$(단, $a\not=0$)의 그래프는 원점을 지나는 직선이다.

비례를 정확하게 이해하였다면 반비례는 쉽게 정의할 수 있다.

변수 $y$가 변수 $x$의 역수와 비례할 때, $y$는 $x$에 반비례한다고 한다. 식으로 나타내면 아래와 같다.

$$\frac{1}{x}:y=1:a\;\;\Rightarrow\;\;\;y=\frac{a}{x}$$

다가서기
피자 1판을 여러 사람이 나누어 먹는 일을 생각해 보자. 사람 $x$명이 나누어 먹을 때 한 사람이 먹는 양을 $y$조각이라 하자.

사진과 같이 8명이 나눈다면 각각 $\frac{1}{8}$조각을 먹을 수 있다. 식으로 표현하면 아래와 같다.

$$y=\frac{1}{x}$$

반비례 관계에서 별다른 조건이 없다면 $x$는 $0$이 아닌 모든 수로 생각한다. 반비례 관계를 나타내는 그래프는 고등학교에서 분수함수의 그래프인 쌍곡선으로 다시 만나게 된다. 중학교 수준에서 $\displaystyle{y=\frac{a}{x}}$의 그래프는 아래와 같은 매끄러운 곡선이라고 외우면 된다.

영어로 비례는 proportion이고 반비례는 reciprocal proportion이다. 조금 어렵더라도 중학교 수학 교과서도 용어를 정확하게 정의하고 단원을 시작해야 한다고 생각한다. '정의(definition)'란 말이 어려우면 '약속'이나 '뜻'이라 불러도 된다. 용어를 분명하게 이해하지 못하기 때문에 시간이 갈 수록 수학 공부에 어려움을 느끼게 된다. 모든 학생에게 공리적으로 수학을 공부하게 할 수는 없다. 하지만 일부 재능과 흥미가 있는 학생에게는 용어를 정의하고 주어진 공리에 따라 정리를 증명하게 해야 한다. 어린 시절 맛이라도 본 적이 있어야 훗날 어른이 되었을 때 그 맛을 추억하고 제대로 즐길 수 있다.

시간 $t$와 움직인 거리 $s$, 속력 $v$ 사이에는 아래와 같은 관계가 있다. 

$$s=vt$$

이런 관계식에서 어떤 문자를 상수로 또는 변수로 생각할 것인가는 자유다. 물론 모든 문자를 변수로 생각해도 된다. 변수가 많으면 아무래도 다루기 어려우므로 적당한 문자를 상수로 생각하는 것이 좋다.

속력을 상수로 생각하면 움직인 거리 $s$는 시간 $t$와 비례한다. 시간 $t$를 상수로 생각하면 움직인 거리 $s$는 속력 $v$과 비례한다. 움직인 거리 $s$를 상수로 생각하면 속력 $v$와 시간 $t$는 반비례한다. 일정한 속력으로 움직이는 운동(등속도 운동)을 그래프로 나타내면 아래와 같다. 자연스럽게 속력에 따라 직선의 기울기가 정해진다.

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