입체도형의 부피 구하기

밑넓이와 높이가 같은 기둥과 뿔은 부피의 비가 $3:1$이다. 중학교 1학년 때 배우는 이 사실이 참임을 보이려고 한다. 요즘은 주로 뿔 모양의 입체에 모래나 물을 담아 기둥 모양의 입체에 옮기는 것으로 증명을 대신한다. 수학은 엄밀함이 생명인데 대상이 중학생이라 하더라도 많이 아쉽다.

입체 도형 가운데 부피를 직관적으로 구할 수 있는 도형은 기둥이다. 초등학교에서 배운 직육면체의 부피를 생각하면 아주 쉽다.

직육면체 부피$=$밑넓이$\times$높이

밑넓이가 $A$이고 높이가 $h$인 기둥의 부피 $V_1$는 $$V_1=A \times h.$$

평면도형과 마찬가지로 도형은 삼각형이 기본이다. 모든 다각형을 자르면 삼각형으로 나눌 수 있으므로 $n$각기둥은 삼각기둥 $n-2$개로 나눌 수 있다. 입체도형에서는 삼각기둥과 삼각뿔의 부피가 이루는 비를 구하면 설명 끝이다.

삼각기둥을 아래와 같이 삼각뿔 3개로 나눌 수 있다. 삼각기둥은 프리즘을 생각하면 된다.

그림에서 있는 3개의 삼각뿔은 (1)과 (3), (2)와 (3)은 서로 밑넓이와 높이가 각각 같으므로 부피가 서로 같다. 따라서 모두 부피가 같다. 이에 따라 아래와 같은 성질을 찾을 수 있다.

밑넓이가 $A$이고 높이가 $h$인 뿔의 부피 $V_2$는 $$V_2=\frac{1}{3}\times V_1=\frac{1}{3}\times A \times h.$$

 

아무래도 중학교 1학년은 직관력도 조금 부족하다. 몸으로 체험하는 기회를 만들면 좋을 듯 하다. 그 방법으로 생각해 본 방법을 적는다. 

1. 삼각기둥을 그리고 위 그림처럼 자른 그림을 따라 그리게 한다. 

2. 전개도를 만들어서 학생들이 오려서 만들게 한다.

뭔가 밋밋해서 색을 넣었다. 같은 색으로 면을 구분하였으니 더 쉽게 삼각기둥을 만들 수 있다. 아무래도 칼라로 모든 학생 수만큼 프린트하기는 쉽지 않으므로 위에 있는 전개도에 학생들이 색을 칠하게 지도해도 좋을 듯하다.

위에 있는 전개도로 삼각기둥을 만들었다. 색을 대충 칠하고 사진을 찍었다. 사진으로 보여주니 느낌이 잘 살지 않는다. 나중에 영상으로 만들어야겠다.

여러 가지 가운데 가장 완성도가 높은 파일은 아래에 있다.

삼각기둥과 뿔의 부피_최종.pdf

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3. 정육면체를 3 등분하는 자료를 활용할 수도 있다. 붙임 파일을 내려받으면 전개도가 있다.

정육면체 분할.pdf

0.03MB

나름 정성이 들어가서 버리려고 하니 조금 아깝다. 버리기 전에 단체 사진을 찍었다.^^