1권_명제 13 만나는 두 직선이 이루는 각

Proposition 13.

If a straight line stands on a straight line, then it makes either two right angles or angles whose sum equals two right angles.

두 직선이 만나면 이직각(180도)을 이루거나 두 각의 합이 2직각을 이룬다.

직선 $AB$와 $CD$가 두 각 $\angle CBA$와 $\angle ABD$를 만든다고 하자.

두 각의 합이 2직각임을 보이려고 한다.

만약 두 각이 모두 직각이라면 증명이 끝난다.

두 각이 직각이 아니라면 점 $B$에서 직선 $CD$에 수선 $BE$를 작도할 수 있다.

두 각 $\angle CBE$와 $\angle EBD$의 합은 2직각이다.

$$\mathrm{\angle }CBE=\mathrm{\angle }CBA+\mathrm{\angle }ABE$$

이므로 각각 $\angle EBD$를 더하면

$$\mathrm{\angle }CBE+\mathrm{\angle }EBD=\mathrm{\angle }CBA+\mathrm{\angle }ABE+\mathrm{\angle }EBD$$

세 각 $\angle CBA$, $\angle ABE$, $\angle EBD$의 합은 2직각이다.

마찬가지로

$$\mathrm{\angle }DBA=\mathrm{\angle }DBE+\mathrm{\angle }ABE$$

이므로 각각 $\angle ABC$를 더하면

$$\mathrm{\angle }DBA+\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }DBE+\mathrm{\angle }ABE+\mathrm{\angle }ABC$$

위에서 세 각을 더하면 2직각임을 보였으므로

두 각 $\angle DBA$, $\angle ABC$을 더하면 2직각이다.

$\blacksquare$

어쩌면 당연한 것을 어렵게 증명하고 있는 것처럼 보인다. 앞에서 이야기한 대로 유클리드는 직각은 정의했지만 오늘날 쓰는 60분법으로 ${}^{\circ}$를 정의하지 않았다.  정의하지 않았거나 공리로 세우지 않은 것은 쓸 수가 없다.