피자와 롤 케이크 그리고 원의 넓이

원의 넓이를 구하는 공식은 초등학교 때부터 사용하지만 엄밀한 증명은 매우 어렵다. 극한을 배우기 전까지는 그저 그림으로 대충 이렇게 되지 않을까 쯤으로 넘어가야 한다. 가장 많이 알고 있는 그림은 아래와 같은 그림이다. 피자를 잘라 붙이는 일로 빗대어 설명하면 딱 들어맞는다.

롤 케이크를 상상해 보자. 겹겹이 말린 부드러운 빵을 펼쳐서 쌓아 보기로 하자. 아래와 같은 그림이 나올 것이다. 이 그림도 아르키메데스가 상상한 그림이다. 위에 있는 그림만큼 직관적으로 설명할 수 있다. 한 발 더 가까이 들여다보면 덧붙여야 할 설명이 있다. 

피자는 모양을 그대로 옮겨 놓기 때문에 넓이가 달라지지 않는다. 하지만 롤 케이크는 모양이 달라지므로 넓이도 달라질 수 있다고 생각할 수 있다. 비슷하다고 같지는 않지만 가면 갈수록 계속 더 비슷해지면 같다고 해도 된다. 이것이 바로 정해진 값에 한없이 가까워지면 그 값과 같다고 약속하는 극한 또는 극한값의 뜻이다. 아무튼 아르키메데스처럼 시대를 앞선 수학자가 남긴 생각을 따라가는 길에는 재미와 놀라움이 함께 있다.

 

토막내기(The method of exhaustion)

 

만만하지 않은 상수 $\pi$와 $e$