토막내기는 요즘 극한으로 다루는 문제들을 증명하기 위해 그리스 수학자들이 썼던 기술이다. 미적분의 시작에 가깝다. 유클리드 '원론' 제 7권은 원 넓이, 사면체 부피, 구면 넓이를 다루면서 이 기술에 집중하고 있다. 그러나 원 넓이를 다루면서 유클리드 대신에 아르키메데스에서 시작하려고 한다.

1. 아르키메데스 공식

요즘 우리는 반지름이 $r$인 원 넓이는 $\pi r^2$라고 하지만 유리수를 넘어 실수 개념에 다다르지 못했던 그리스 사람들은 이렇게 말하지 않았다. 그들은 어떤 것은 어떤 것과 같다라는 식으로 말했다. 보기를 들면 '밑변과 높이가 같은 평행사변형 넓이는 같다'처럼 말이다. 아르키메데스는 '원 넓이는 밑변이 원둘레와 같고 높이는 반지름과 같은 삼각형 넓이와 같다'고 했다. 아래 그림과 같다. $\frac{1}{2}r\cdot 2\pi r =\pi r^2$

다각형 길이가 아닌 곡선 길이를 재는 일은 알 수 없는 뭔가가 있다. 오늘날은 극한으로 곡선 길이를 정의하지만 아르키메데스는 간단한 곡선을 모아놓고 근삿값으로 길이가 가진 성질를 다루고 있다. 1820년쯤 엄밀한 극한 개념이 완성되기 전까지 이 방법은 매우 좋은 방법이었다.

2. 볼록한 곡선

원은 비교적 간단하기때문에 아르키메데스는 곡선 길이에 대해 많은 걸 알 필요가 없다. 공리 하나는 꽤 일반적이지만 다른 하나는 볼록한 곡선에서만 쓸 수 있다. 볼록한 곡선을 설명하는 가장 좋은 방법은 볼록하지 않은 곡선을 보여주는 것이다. 왼쪽은 볼록이고 오른쪽은 볼록이 아니다.

볼록한 곡선은 밖으로 부풀어 오른 것이고 아닌 것은 움푹 패인 것이다. 조금 더 정확하게 말해 보자.

두 점을 잇는 곡선을 가정하자. 그 시작과 끝점을 직선으로 이은 단힌 경로를 만든다.

영역 안에 있는 어떤 두 점을 이은 선분이 모두 영역 안에 있으면 그 영역은 볼록하다라고 한다. 첫 번째는 만족하지만 두 번째는 만족하지 않는다.

2. 아르키메데스 공리

아르키메데스 공리가 둘 있다.

$\cdot$ 서로 다른 두 점 $P,Q$가 있다면 그 둘을 잇는 선분이 가장 짧은 경로이다.

$\cdot$ 같은 쪽에 있는 볼록한 경로가 있다면 안쪽에 있는 것이 더 짧다.

공리는 증명이 필요하지 않은 가정 같은 것이다. 그리스에서는 그럴 것이라 보이지만 증명하기 어려운 것들을 공리로 했다. 첫 번째 공리는 유클리드 원론에 있는 삼각형 두 변 길이를 더한 것은 다른 한 변 길이보다 길다처럼 생각하면 참이다.

두 번째 공리는 아래와 같이 귀납적으로 생각하면 된다.

$AB + BZ < AB' . . .X + X . . .Z$

2. 아르키메데스 공식 증명

원 안쪽과 바깥에 접하는 정다각형 만들고 다각형 변의 개수를 늘려가면서 원 넓이에 가까운 값을 찾아 나가는 것이 바탕이 되는 생각이다.

다각형들은 삼각형들로 이루어져 있다. 변의 개수가 늘어날수록 삼각형의 밑변은 호 길이와 가까워지고 높이는 반지름과 가까워진다. 그러므로 원 넓이는 원주를 밑변으로 하고 반지름을 높이로 가지는 삼각형 넓이라고 보면 된다.

다각형 넓이의 극한이 원 넓이라고 생각하면 된다. 이것을 아르키메데스는 토막내기(the method of exhaustion)라고 불렀다.
$C$를 원 넓이라고 하자. $A$는 삼각형 넓이다. 자연수 $n$에 대하여 원 안에 내접하는 정다각형 넓이는 $I_{n}$, $O_{n}$은 바깥 정다각형 넓이라고 하자. $C > A$ 또는 $C < A$이면 모순임을 밝혀서 $C = A$임을 보이면 된다.
(1) $ C > A$ 일 때, $d = C − A$라고 하면 $d$는 양이다.
모든 자연수 $ n$에 대하여 $I_{n} < A$ 이다.

삼각형 넓이를 넘어서는 원 넓이를 $\delta_{n} = C − I_{n} > 0$ 이라고 하자.