중학교 지수법칙

수학 공부는 수와 문자로 이루어진 식을 이해하는 것에서 시작해야 한다. 먼저 간단한 용어 정리를 해보자. 수학자들은 언제나 복잡함을 최대한 간단하게 나타내려고 노력했다. 

곱셈은 덧셈을 간단하게 표현한다. 같은 수를 계속 더하는 셈을 생각해 보자.

$$6+6+6+6+6+6+6=7\times6$$

$$a+a+a+a+a+a=7\times a=7a$$

이때 $7$은 $a$의 계수로 부른다. 계수를 문자가 더해진 개수로 생각하면 식을 계산하는데 도움이 된다.

$$8a+5a=(8+5)a=13a$$

마찬가지로 같은 수를 곱하는 것은 거듭제곱으로 간단하게 표현한다.

$$3\times 3\times 3 \times 3 \times 3=3^5$$

$$a\times a\times a \times a \times a=a^5$$

이때 $a$는 밑이고 $5$는 지수라고 부른다. 여기까지는 1학년 과정에서 배웠다.

참고: 제곱은 '저의 곱'을 줄인 말로 같은 수를 두 번 곱한다는 말이다. 옛날에는 제곱을 한자로 '자승(自乘)'이라고 불렀다. 거듭제곱을 승멱(乘冪) 또는 멱(冪)으로 부르던 시절은 이제 끝났지만 여전히 그렇게 부르는 사람들이 있다. 아무래도 '세제곱'보다 '삼승'이 짧아서 그런 것이 아닐까 싶다.
교과서에는 거듭제곱을 읽을 때는 제곱, 세제곱, 네제곱으로 읽는다고 적혀 있다. 제곱이 토박이 우리말이라 앞에 숫자도 우리말로 읽는 것이 자연스럽기 때문이다. 하지만 숫자가 커졌을 때 $a^{65}$을 'a의 예순 다섯제곱'과 같이 읽기는 아무래도 불편하다. 대체로 그냥 '육십오제곱'으로 읽는 이가 더 많아 보인다. 결론 삼제곱, 사제곱, 오제곱으로 읽어도 큰 잘못은 아니다.

지수법칙

중학교 2학년 수학 두 번째 단원은 식의 계산이다.

큰수를 나타낼 때 10의 거듭제곱을 쓰면 편하게 다룰 수 있다. 수표가 있다. 중학생에겐 상당히 큰돈이다. 아래 수표가 100장이 있다면 얼마인가? 

$$100000\times100=10000000$$

위와 같이 쓰면 0의 개수를 하나하나 세야 해서 번거롭다. 같은 식을 거듭제곱을 써서 표현하면 알아보기 매우 쉽다.

$$10^5 \times 10^2 =10^7$$

빛은 1초에 300000km를 이동한다. 100초 동안 이동한 거리는 얼마인가 계산해 보자.

$$3\times 10^5 (km/sec) \times 10^2 (sec) =3\times 10^7 (km)$$

앞에서 확인한 지수의 뜻을 알고 있다면 아래와 같은 지수법칙을 간단하게 이해할 수 있다.

$m,\;n$이 자연수 일 때 $$a^m \times a^n =a^{m+n}$$

거듭제곱을 거듭제곱할 수도 있다. 이 또한 지수가 밑이 곱해진 개수를 나타낸다고 생각하면 쉽게 이해할 수 있다.

$$(10^2)^3=10^2 \times 10^2 \times 10^2 =10^{2+2+2}=10^{2\times3}=10^6$$

$m,\;n$이 자연수 일 때 $$(a^m)^n =a^{mn}$$

거듭제곱의 나눗셈은 분수 막대를 써서 계산하면 된다. 정리하면 조금 복잡해 보이지만 실제 내용은 아주 간단하다. 다만 곱셈과 달리 나눗셈은 지수를 빼다 보면 음수가 나올 때가 있어서 경우를 나누어서 정리해야 한다.

$$a^8 \div a^5=\frac{a^8}{a^5}=\frac{a\times a\times a\times a\times a\times a\times a\times a}{a\times a\times a\times a\times a }=a\times a\times a=a^3$$

$$a^5 \div a^8=\frac{a^5}{a^8}=\frac{a\times a\times a\times a\times a }{a\times a\times a\times a\times a\times a\times a\times a}=\frac{1}{a\times a\times a}=\frac{1}{a^3}$$

위에 있는 것은 $$a^5 \div a^8=a^{8-5}=a^3$$로 자연스럽게 정리할 수 있지만 아래에 있는 것은 그렇지 않다. 따라서 공식을 단순히 외우지 말고 나눗셈을 분수 꼴로 바꾼 다음 문자가 분자에 남는지 분모에 남는지 살펴보고 적어야 한다고 생각하자.

$a\not=0$이고, $m,\;n$이 자연수 일 때
\begin{align} m>n \quad \Rightarrow \quad a^m \div a^n=a^{m-n}\tag{1} \\
m=n \quad \Rightarrow \quad a^m \div a^n=1\tag{2} \\ m<n \quad \Rightarrow \quad   a^m \div a^n=\displaystyle{\frac{1}{a^{n-m}}}\tag{3}\end{align}

중학교에서 지수에 자연수가 아닌 수를 쓰지 않지만 (2)는 $a^0 =1$로 기억해 두면 편하다. 고등학생이 되면 지수를 확장해서 음의 정수는 물론 유리수와 실수도 쓰게 된다. 이미 고등학생이라면 지수의 확장을 참고하자.

동양의 수학에서는 10의 거듭제곱을 부르는 단위가 아주 잘 마련되어 있다. 그 가운데 지수가 자연수인 것을 적어 둔다.

크기	$10^0$	$10^4$	$10^8$	$10^{12}$	$10^{16}$	$10^{20}$	$10^{24}$	$10^{28}$	$10^{32}$
이름	일	만	억	조	경	해	자	양	구
크기	$10^{36}$	$10^{40}$	$10^{44}$	$10^{48}$	$10^{52}$	$10^{56}$	$10^{60}$	$10^{64}$	$10^{68}$
이름	간	정	재	극	항하사	아승기	나유타	불가사의	무량대수

분수의 이름까지 알고 싶다면 아래를 참고하시라.

https://suhak.tistory.com/253

무량대수와 구골