삼각형과 평행선

닮음인 두 삼각형에서 세 쌍의 대응각은 각각 크기가 같다.

따라서 하나의 각을 포개면 대응변 두 쌍이 일치하고 다른 한 쌍은 평행이 된다.(두 삼각형이 합동인 경우는 제외)

평행이동하여 각을 포갠다.

$\overline{DE}//\overline{BC}$

아래 그림에서 몇 가지 중요한 선분의 길이의 비를 찾을 수 있다.

두 변에 평행인 직선을 긋는다면 $$\overline{BC}//\overline{DE},\;\;\overline{AB}//\overline{EF}$$

$\square DBFE$는 평행사변형이므로 $\overline{DB}=\overline{EF}$이다.

$$ \triangle ABC \sim \triangle ADE \sim \triangle EFC$$

$\triangle ABC\sim \triangle ADE$에서 $$\overline{AB}:\overline{AD}=\overline{AC}:\overline{AE}=\overline{BC}:\overline{AE}\tag{1}$$

$\triangle ABC\sim \triangle EFC$에서 

$$\overline{AB}:\overline{DB}=\overline{AC}:\overline{EC}\tag{2}$$

$\triangle ADE\sim \triangle EFC$에서

$$\overline{AD}:\overline{DB}=\overline{AE}:\overline{EC}\tag{3}$$

한편 (1)은 아래 그림과 같이 뒤집어서 포갠 경우에도 성립함을 쉽게 알 수 있다.

 

평행이동만 한 문제보다 뒤집어서 포갠 문제가 조금 더 생각을 해야한다. 하지만 결국은 같은 유형의 문제이다. 이렇게 같은 유형인 문제를 따로 구분하여 공식을 따로 정리하는 모습을 자주 본다.

다양한 경우에 따른 공식을 따로 외우기보다 공통되는 성질을 탐구하는 것이 옳은 방향이다. 닮음인 삼각형을 찾기만 하면 모든 것이 해결된다. 많은 문제를 풀다 보면 저절로 공식이 외워지기도 한다. 하지만 공식에만 의지해서 문제를 빨리 답만 구하는데 급급하지는 말자.

 

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