원론 2권 명제 5

직선을 길이가 같게 둘로 자르고 길이가 다르게 둘로 잘랐을 때, 길이가 다른 두 토막으로 만든 직사각형에 자른 점들 사이의 직선으로 만든 정사각형을 더하면 전체 길이의 절반으로 만든 정사각형과 넓이가 같다.

직선 AB가 주어졌을 때, 점 C는 직선 AB 를 이등분하고 점 D는 서로 다른 길이로 나눈다고 하자.

AD와 DB로 만드는 직사각형의 넓이는 CB로 만드는 정사각형과 CD로 만드는 정사각형의 넓이의 차와 같음을 보이면 된다.

한 변이 CB인 정사각형 CEFB를 그리고 대각선 BE를 긋는다.

D를 지나고 CE에 평행인 직선 DG를 긋는다. BE와 만나는 점 H를 지나고 AB에 평행한 직선 KM을 긋는다. A를 지나 CL 또는 BM에 평행한 AK를 긋는다.

 $\square CLHD=\square HGFM$이므로 $\square CLMB=\square DGFB$이다.

$\overline{AC}=\overline{CB}$이므로 $\square CLMB=\square AKLC$이다.

$$\square AKLC=\square DGFB$$

$$\square AKLC+\square CLHD=\square DGFB+\square CLHD$$

$$\square AKHD=gnomon NOP$$

$$\overline{AD}\times\overline{DH}=\overline{AD}\times\overline{DB}\quad(\because\overline{DH}=\overline{DH})$$

$$\overline{AD}\times\overline{DB}=\overline{BC}\times\overline{BF}-\overline{LH}\times\overline{HG}$$

$$\overline{AD}\times\overline{DB}=\overline{BC}^2-\overline{LH}^2$$

곱셈공식으로 정리

$\overline{AD}=x,\;\overline{DH}=y$라고 하면 $\overline{BC}=(x+y)/2$이고 $\overline{LH}=(x-y)/2$이다.

$$xy=\left(\frac{x+y}{2}\right)^2 -\left(\frac{x-y}{2}\right)^2$$

2차 방정식의 해

이 명제는 2차 방정식의 꼴로 바꿀 수 있다.

$$x+y=b,\;\;xy=c^2$$

$$x(b – x) = c^2$$

$$x^2+c^2=bx$$

$b=\overline{AB}$, $x = \overline{AD}$, $y =\overline{BD}$라고 하면 $x + y = b$을 만족한다. 

$$xy=\overline{BC}^2-\overline{CD}^2$$

 $\overline{BC}=(x+y)/2=b/2$이므로 $(b/2)^2 – \overline{CD}^2 = c^2$이다.

피타고라스 정리에 따라 

$$\overline{CD}=\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-c^2}$$

$$x=\overline{AC}+\overline{CD}=\frac{b}{2}+\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-c^2}$$

$$y=\overline{BC}-\overline{CD}=\frac{b}{2}-\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-c^2}$$