파스칼과 확률
수학이야기/확률통계 2012. 5. 17. 15:16
주사위 게임에서 상금은 64만 원이다. 3번을 먼저 이기는 사람이 상금을 모두 가져가기로 했는데 2:1인 상황에서 더는 게임을 할 수 없게 되었다. 상금을 어떻게 나누어 가져야 하는가?
파스칼 친구인 메레가 어느날 파스칼에게 던진 질문입니다. 파스칼은 수학자 친구 페르마와 문제 해결을 위한 편지를 주고 받습니다. 둘은 상금을 이길 수 있는 가능성의 정도에 따라 나누어 가져야 한다고 생각합니다. 이 가능성의 정도를 계산하는 것에서 확률이 시작되었다고 하니 도박이 확률론의 어머니라고 해야 할까요?
문제로 되돌아 가서 메레가 2승을 거두고 있을 때 게임이 중단되었습니다. 메레가 이긴 경우를 O, 진 경우를 X 로 표시하면 세 가지 경우는
1. O
2. XO
3. XX
입니다.
상대방은 메레는 1번과 2번 자신은 나머지 3번 상금을 가질 수 있으므로 이길 확률은 메레가 $\frac{2}{3}$ 자신이 $\frac{1}{3}$이라며 이에따라 상금을 나누어야 한다고 주장합니다.
메레는 1번 경우 확률이 $\frac{1}{2}$이므로 32만 원을 가지고 한 번 더 주사위를 던져 상대방이 이기더라도 무승부이므로 남은 32 만 원에 대해서 권리를 가진다. 그러므로 $32+ 32 \times \frac{1}{2}=48$을 가져야 한다고 주장하였습니다.
당연히 파스칼과 페르마는 메레가 옳다고 판정하였습니다.
이제와 생각하면 간단한 문제지만 확률론이 제대로 발전하지 않았을 때는 이름난 수학자들이 나서서 판정해줘야 할 문제였나 봅니다. 요즘도 간단한 문제들은 직관에 따라 쉽게 판정할 수 있지만 조금 복잡한 문제를 해결하기 위해서는 보다 엄밀하게 확률을 정의하고 계산해야 합니다.
이와 비슷한 문제로 마찬가지 도박사가 갈릴레이에게 물었던 문제가 있습니다. 주사위를 3개 던져서 나온 눈의 수를 더한 값이 9인 경우와 10인 경우는 모두 6가지로 같은데 실제로는 10이 되는 경우가 더 많이 나온다. 까닭은 무엇일까요?
문제1 윷놀이에서 도개걸윷모가 나오는 확률을 구해보자.
주사위나 동전을 던지는 경우와 같이 같은 조건에서 반복할 수 있고, 그 결과가 우연에 의하여 좌우되는 실험이나 관찰을 시행이라고 한다. 그리고 그 시행의 결과로 일어나는 것을 사건이라고 한다.
어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 가능한 결과 전체의 집합을 그 시행에 대한 표본공간이라고 하며, 사건은 표본공간의 부분집합이다.
문제2 서로 같은 연필 3자루를 A,B,C 사람에게 나누어 주었다. A가 세 자루를 받을 확률은?
문제3 서로 같은 연필 5자루를 A,B,C 사람에게 나누어 주었다. A가 세 자루를 받을 확률은?
