이차방정식_근의 공식 톺아보기

근의 공식 만들기

이차방정식에서 완전제곱식으로 고쳐서 제곱근을 활용하면 근의 공식을 얻을 수 있다.

$$ax^2 +bx+c=0,\quad\quad a\not=0 $$

1. $a$로 양변을 나눈다.

$$x^2 +\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$

2. 상수항을 이항한다.

$$x^2 +\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. 양변에 $(b/2a)^2$을 더한다.  (1차항 계수를 2로 나누고 제곱한 수를 더한다.)

$$x^2 +\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}$$

4. 완전제곱식으로 고친다.

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 =\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$

5. $b^2-4ac\geq 0$임을 확인하고 제곱근을 구한다.

$$x+\frac{b}{2a} =\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\quad(b^2-4ac\geq 0)$$

6. 이항하여 정리한다.

$$x =-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

이차방정식 $ax^2 +bx+c=0,\;\;(a\not=0)$의 근은 $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}\quad(b^2-4ac\geq 0)\tag{1}$$

보통 (1)를 이차방정식의 근의 공식이라고 부른다. 중학교에선 $b^2-4ac \geq 0$일 때만 생각한다. $b^2-4ac < 0$일 때는 근이 없다고 한다. (참고: 고등학교에서 복소수를 배우면 허근을 가진다고 말한다.)

근의 공식에서 $b^2-4ac$는 아주 중요하므로 근을 판별한다는 뜻에서 판별식으로 부르고 보통 $D$로 적는다. (참고: Discriminant의 머리글자를 따서 쓰는데 그리스 문자인 $\Delta$로 적기도 한다.)

$$D=b^2 -4ac$$

$D$를 따로 구하면 계산이 편하다. 중학교에선 판별식을 특별하게 다루지 않지만 미리 알아 두면 좋다. 근의 공식을 아래와 같이 간단하게 표현할 수 있다.

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\tag{2}$$

근의 공식으로 근 구하기

 평범한 이차방정식

$$2x^2 -3x-1=0$$

$a=2,\,b=-3,\;\;c=-1$이다. 먼저 $D=(-3)^2 -4\times 2\times(-1)=17$이다.

$$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{17}}{2\times 3}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{6}$$

조금만 연습하면 단번에 근을 적을 수 있다.

 계산이 조금 복잡한 이차방정식 ($b=2k$와 같은 꼴일 때)

$$2x^2 -6x-1=0\tag{3}$$

$a=2,\,b=-6,\;\;c=-1$이다. 먼저 $D=(-6)^2 -4\times 2\times(-1)=36+8=44$이다.

$$\begin{split}x&=\frac{6\pm\sqrt{44}}{2\times 2}\\&=\frac{6\pm2\sqrt{11}}{2\times 2}\\&=\frac{6\pm2\sqrt{11}}{2\times 2}\\&=\frac{2(3\pm\sqrt{11})}{2\times 2}\\&=\frac{3\pm\sqrt{11}}{2}\end{split}$$

쉽지만 상당히 귀찮다. 이럴 때는 양변을 $2$로 나눈 다음 계산하면 편한다.

$$x^2-3x-\frac{1}{2}=0\tag{4}$$

(4)에서 $$(-3)^2-4\times 1\times \frac{1}{2}=9+2=11\tag{5}$$이므로

$$x=\frac{3\pm\sqrt{11}}{2}$$

(4)의 판별식인 (5)는 (3)에서는 $D/4$이다. 아무 생각 없이 공부하고 고등학교에 진학해서 왜 $D/4$로 적는지 모르는 고등학생을 종종 만난다.

$$\begin{split}x&=\frac{-2k\pm\sqrt{4k^2-4ac}}{2a}\\&=\frac{-2k\pm2\sqrt{k^2-ac}}{2a}\\&=\frac{-k\pm\sqrt{D/4}}{a}\end{split}$$

뭔 소리인지 이해가 안 되는 중학생은 그냥 공식 (1) 하나만 외우면 된다. 하지만 계산을 조금 더 편하게 하려면 따로 기억해 두자.

이차방정식 $ax^2 +2kx+c=0,\;\;(a\not=0)$의 근은 $$x=\frac{-k\pm\sqrt{k^2 -ac}}{a}\quad(k^2-ac\geq 0)\tag{6}$$

외우는 일이 귀찮다면 양변을 $2$로 나눈 다음 근의 공식 (1)을 쓴다고 기억하면 된다.

 계수가 분수나 소수인 이차방정식

$$\frac{1}{2}x^2 +\frac{1}{3}x=0.25$$

계수가 분수나 소수이면 근의 공식을 바로 쓰면 매우 귀찮은 계산을 해야 한다. 이런 방정식은 적당한 수를 곱해서 계산을 간단하게 만들 수 있다.

1. 소수를 분수로 고쳐서 정리하자.

$$\frac{1}{2} x^2 +\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}=0$$

2. 양변에 $12$를 곱하자.

$$6x^2+4x-3=0$$

3. 다시 $2$로 나누자.

$$3x^2 +2x-\frac{3}{2}=0$$

$$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\times 3 \times \left(-\frac{3}{2}\right)}}{6}=\frac{-2\pm\sqrt{22}}{6}$$

 

 

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