Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
<span class="MathJax_Preview" style="color: inherit;"><span class="MJXp-math" id="MJXp-Span-1"><span class="MJXp-msqrt" id="MJXp-Span-2"><span class="MJXp-surd"><span style="font-size: 134%; margin-top: 0.104em;">√</span></span><span class="MJXp-root"><span class="MJXp-rule" style="border-top: 0.08em solid;"></span><span class="MJXp-box"><span class="MJXp-mn" id="MJXp-Span-3">2</span></span></span></span></span></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1">\sqrt 2</script>는 무리수이다::::수학과 사는 이야기

2는 무리수이다

수학이야기/중학수학3 2023. 6. 9. 09:08
반응형

학교에서 처음 만나는 무리수로 원주율 π를 꼽을 수 있지만 본격적으로 무리수를 배우는 단원에서 처음 만나는 무리수는 2이다. 고대 문명에서도 마찬가지였을 것이다. 피타고라스 학파는 무리수인 2가 존재한다는 사실을 비밀에 부치기도 했다고 전해진다. 비밀을 바깥으로 알린 히파수스(Hippasus of Metapontum)를 벌했다는 이야기도 있다.

2가 무리수임을 밝히는 증명은 여러 가지가 있다. 가장 널리 알려진 유클리드의 증명은 이미 올렸으니 이글은 조금 덜 알려진 증명으로 시작하자.

기하적 증명

ABC는 직각 이등변삼각형이라고 하자.

피타고라스 정리에 따라

m=n2+n2=n2

2=mn

A를 중심으로 선분 AC가 반지름인 원과 직선 AB가 만나는 점을 E라고 하자.

E에서 선분 AC에 내린 수선을 발을 D라고 하고 EDBC가 만나는 점을 F라고 하자.

ABCEBFCDF

¯AC¯BC=¯EF¯BF=¯FC¯FD

mn=2nmmn

2=mn=2nmmn=2(mn)(2nm)(2nm)(mn)=3m4n3n2m=

이것은 2를 기약분수로 나타낼 수 없음을 말해준다.

대수적으로 증명

아래와 같이 대수적으로 표현할 수 있다. 이 증명도 귀류법을 쓴다.

먼저 2가 유리수라고 하면 2=m/n  (m,n 서로소인 자연수)와 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

다시 말하면 기약분수로 나타낼 수 있다.

이제 m=n2>n이므로

mn>0.

이다. 또한 m=n2<2n이므로

mn<n.

아래와 같이 정리하자.

m2=2n2m2nm=2m2nmm(mn)=(2nm)n2nmmn=mn

그러므로

2nmmn=2이다.

(1)에 따라 2nmmn의 분모는 양수이고, (2)에 따라 2nmmn의 분모는 n보다 작다.

모순이 생겼으므로 2는 유리수가 아니다.

연분수(Continued_fraction)

아래와 같이 x를 양의 정수인 ai로 표현한 것을 연분수(Continued_fraction)라고 한다.

x=a0+1a1+1a2+1a3

여러 가지 표기법이 있다. 가우스는 아래와 같이 나타냈다.

x=a0+3Ki=1 1ai

계수만 따로 아래와 같이 쓰기도 한다.

x=[a0;a1,a2,a3]

유한에만 한정하지 않고 무한 연분수를 다음과 같이 극한을 이용하여 정의한다.

[a0;a1,a2,a3,]=lim

모든 유한 연분수는 유리수이며, 모든 유리수는 [2;3,1]=[2;4]=\displaystyle{\frac{9}{4}}=2.25 의 경우와 같이 정확히 두 가지 유한 연분수로 나타내어진다. 오일러는 모든 유리수를 유한 연분수로 나타낼 수 있고, 역도 성립한다는 사실을 증명했다. 오일러 연분수(infinite continued fraction) 공식

모든 무한 연분수는 무리수이며, 모든 무리수는 무한 연분수로 표현할 수 있고 그 표현은 유일하다. 무한 연분수가 꼬리들이 되풀이 되면 순환 연분수라고 한다. 어떤 무리수가 순환 연분수로 표현할 수 있는 필요충분조건은 그 수가 어떤 이차방정식의 해가 되는 것이다. 즉, 이차 무리수(영어: quadratic irrational number)인 것이다.

\sqrt2를 연분수로 나타내기

\sqrt2=1+\sqrt 2- 1=1+\frac{1}{1+\sqrt2}

\sqrt2=1+\frac{1}{1+\sqrt2}\tag{3}

(3)을 다시 (3)에 대입한다.

\sqrt2=1+\cfrac{1}{1+1+\cfrac{1}{1+\sqrt2}}

\sqrt2=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\sqrt2}}}

\sqrt2=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}}

되풀이 하면 무한 연분수이면서 순환 연분수임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 \sqrt2는 이차 무리수이다.

\displaystyle{\sqrt2 =1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{}\ddots }}}}}}}}.}

\sqrt2=[1;2,2,2,2,\cdots]

 

몇몇 상수를 연분수로 나타내면 아래와 같다.

  • e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\cdots]
  • \pi=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,\cdots]
  • \varphi=[1;1,1,1,1,1,1,1,1,\cdots]
  • \gamma=[0;1,1,2,1,2,1,4,3,13,5,1,\cdots]
  • \sqrt{19}=[4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8,\cdots]

 

제곱근 2는 유리수가 아니다.

 

제곱근 2는 유리수가 아니다

제곱해서 2가 되는 수가 있는가는 피타고라스 정리로 쉽게 확인할 수 있다. 아래 그림과 같이 수직선 위에 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이에 해당하는 점이 존재한다. $$r^2=1^2+1^2=2$

suhak.tistory.com

 

반응형

수학이야기님의
글이 좋았다면 응원을 보내주세요!