√2는 무리수이다
수학이야기/중학수학3 2023. 6. 9. 09:08학교에서 처음 만나는 무리수로 원주율 π를 꼽을 수 있지만 본격적으로 무리수를 배우는 단원에서 처음 만나는 무리수는 √2이다. 고대 문명에서도 마찬가지였을 것이다. 피타고라스 학파는 무리수인 √2가 존재한다는 사실을 비밀에 부치기도 했다고 전해진다. 비밀을 바깥으로 알린 히파수스(Hippasus of Metapontum)를 벌했다는 이야기도 있다.
√2가 무리수임을 밝히는 증명은 여러 가지가 있다. 가장 널리 알려진 유클리드의 증명은 이미 올렸으니 이글은 조금 덜 알려진 증명으로 시작하자.
△ABC는 직각 이등변삼각형이라고 하자.
피타고라스 정리에 따라
m=√n2+n2=n√2
∴√2=mn
A를 중심으로 선분 AC가 반지름인 원과 직선 AB가 만나는 점을 E라고 하자.
점 E에서 선분 AC에 내린 수선을 발을 D라고 하고 ED와 BC가 만나는 점을 F라고 하자.
△ABC∼△EBF∼△CDF
¯AC¯BC=¯EF¯BF=¯FC¯FD
∴mn=2n−mm−n
√2=mn=2n−mm−n=2(m−n)−(2n−m)(2n−m)−(m−n)=3m−4n3n−2m=⋯
이것은 √2를 기약분수로 나타낼 수 없음을 말해준다.
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아래와 같이 대수적으로 표현할 수 있다. 이 증명도 귀류법을 쓴다.
먼저 √2가 유리수라고 하면 √2=m/n (m,n은 서로소인 자연수)와 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
다시 말하면 기약분수로 나타낼 수 있다.
이제 m=n√2>n이므로
m−n>0.
이다. 또한 m=n√2<2n이므로
m−n<n.
아래와 같이 정리하자.
m2=2n2m2−nm=2m2−nmm(m−n)=(2n−m)n2n−mm−n=mn
그러므로
2n−mm−n=√2이다.
(1)에 따라 2n−mm−n의 분모는 양수이고, (2)에 따라 2n−mm−n의 분모는 n보다 작다.
모순이 생겼으므로 √2는 유리수가 아니다.
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아래와 같이 x를 양의 정수인 ai로 표현한 것을 연분수(Continued_fraction)라고 한다.
x=a0+1a1+1a2+1a3
여러 가지 표기법이 있다. 가우스는 아래와 같이 나타냈다.
x=a0+3Ki=1 1ai
계수만 따로 아래와 같이 쓰기도 한다.
x=[a0;a1,a2,a3]
유한에만 한정하지 않고 무한 연분수를 다음과 같이 극한을 이용하여 정의한다.
[a0;a1,a2,a3,⋯]=lim
모든 유한 연분수는 유리수이며, 모든 유리수는 [2;3,1]=[2;4]=\displaystyle{\frac{9}{4}}=2.25 의 경우와 같이 정확히 두 가지 유한 연분수로 나타내어진다. 오일러는 모든 유리수를 유한 연분수로 나타낼 수 있고, 역도 성립한다는 사실을 증명했다. 오일러 연분수(infinite continued fraction) 공식
모든 무한 연분수는 무리수이며, 모든 무리수는 무한 연분수로 표현할 수 있고 그 표현은 유일하다. 무한 연분수가 꼬리들이 되풀이 되면 순환 연분수라고 한다. 어떤 무리수가 순환 연분수로 표현할 수 있는 필요충분조건은 그 수가 어떤 이차방정식의 해가 되는 것이다. 즉, 이차 무리수(영어: quadratic irrational number)인 것이다.
\sqrt2=1+\sqrt 2- 1=1+\frac{1}{1+\sqrt2}
\sqrt2=1+\frac{1}{1+\sqrt2}\tag{3}
(3)을 다시 (3)에 대입한다.
\sqrt2=1+\cfrac{1}{1+1+\cfrac{1}{1+\sqrt2}}
\sqrt2=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\sqrt2}}}
\sqrt2=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}}
되풀이 하면 무한 연분수이면서 순환 연분수임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 \sqrt2는 이차 무리수이다.
\displaystyle{\sqrt2 =1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{}\ddots }}}}}}}}.}
\sqrt2=[1;2,2,2,2,\cdots]
몇몇 상수를 연분수로 나타내면 아래와 같다.
제곱근 2는 유리수가 아니다
제곱해서 2가 되는 수가 있는가는 피타고라스 정리로 쉽게 확인할 수 있다. 아래 그림과 같이 수직선 위에 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이에 해당하는 점이 존재한다. $$r^2=1^2+1^2=2$
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