2023학년도 카이스트 면접 수학 기출문제_1

정말 오랜만에 면접 문제를 올린다. 

일반전형 문제 1 

$xyz$좌표공간에서 $x^2 +y^2=4,\;\;z=6$을 만족시키는 점 $(x,y,z)$들의 집합을 $A$라 하자. 집합 $A$의 임의의 점을 $P(x,y,z)$라고 하자.

1. 점 $Q(2,4,2)$와 집합 $A$의 임의의 점을 $P(x,y,z)$를 지나는 직선은 $xy$평면과 한 교점에서 만난다. 이렇게 구해지는 교점들의 집합을 방정식으로 나타내시오.[1점]
2. 평면 $z=2$에 변의 개수가 $n$인 정다각형이 있고, 그 내부에 점 $R(2,2,2)$가 있다. 이 정다각형의 한 꼭짓점의 좌표는 $(2,4,2)$이고, 각 꼭짓점과 점 $R(2,2,2)$ 사이의 거리가 $2$라고 하자. 이 정다각형의 변 또는 내부에 있는 임의의 점과 집합 $A$의 임의의 점 $P(x,y,z)$를 지나는 직선은 $xy$평면과 한 교점에서 만난다. 그 교점들을 모아놓은 도형의 넓이를 $S_n$이라고 할 때, $S_n$을 구하시오.[3점]
3. $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}S_n}$을 구하시오.[1점]

 

풀이 공간도형 문제는 상상하기 어렵다면 정사영이나 평면으로 자른 단면을 생각해야 한다. 이 문제도 정사영은 아니지만 비슷한 개념을 쓰면 좋다.

(1) 집합 $A$는 원기둥 $x^2 +y^2 =4$와 평면 $z=6$의 교선인 중심 $M(0,0,6)$이고 반지름이 $2$인 원이다. 문제 상황을 그림으로 그리면 아래와 같다.

점을 대칭이동하는 것과 비슷한 상황이므로 도형의 모양은 달라지지 않고 크기만 달라진다. 따라서 닮음으로 접근해도 좋다. 중심 $M(0,0,6)$을 먼저 옮기고 반지름을 구하면 된다.

직선 $MQ$의 $xy$평면 위로의 정사영을 생각하자.

점 $M$의 정사영은 $O(0,0,0)$이고 점 $Q$의 정사영은 $(2,4,0)$이다. 따라서 구하고자 하는 점은 $2x=y, \;\;z=0$ 위에 있다. 직선 $MQ$의 $x$축과 $y$축 위로의 정사영을 각각 생각하고 닮음을 이용하여 $M^{\prime}(3,6,0)$임을 쉽게 구할 수 있다. 또한 $\overline{MF}:\overline{M^{\prime}F^{\prime}}=2:1$임을 알 수 있다.

따라서 중심이 $(3,6,0)$이고 반지름이 1인 $xy$평면 위의 원의 방정식을 적으면 된다. 

$$(x-3)^2+(y-6)^2=1,\;\;z=0$$

직접 대수적인 계산으로 구할 수 있다. 집합 $A$의 임의의 점을 $P(x_1,y_1,6)$이라 놓자.

직선 $PQ$의 방정식을 구하면 점 $Q(2,4,2)$를 지나고 방향벡터는 $(x_1-2,y_1-4,4)$이므로

$$\frac{x-2}{x_1-2}=\frac{y-4}{y_1-4}=\frac{z-2}{4}\tag{1}$$

(1)이 $xy$평면과 만나는 점을 $P^{\prime}(x,y,0)$으로 놓으면

$$\frac{x-2}{x_1-2}=\frac{y-4}{y_1-4}=-\frac{1}{2}$$

정리하면

$$x_1=-2x+6,\;\;y_1=-2y+12\tag{2}$$

$x_1^2 +y_1^2 =4$에 대입하면 

$$(x-3)^2+(y-6)^2=1\tag{3}$$

안타깝게도 이제는 고등학교 교육과정에서 벡터가 빠졌기 때문에 이런 풀이는 적당하지 않다. 그래서 카이스트에서 제시한 답안이 복잡하게 보인다. 

 

(2) 점 $P$와 평면 $z=2$ 위에 있는 점을 지나는 직선이 $xy$평면과 만나는 점을 구하는 일은 (1)에서 한 것과 마찬가지로 생각할 수 있다. 정$n$다각형 위에 있는 점을 $A_n$이라고 하자.

원의 중심 $M$과 정다각형의 중심 $R(2,2,2)$을 지나는 직선이 $xy$평면과 만나는 점은 $C{\prime}(3,3,0)$이다.

정$n$각형의 변 위의 점과 중심 $M$을 지나는 직선이 $xy$평면과 만나는 점의 자취는 정$n$각형일 것이다. 이것을 $B_n$이라고 하자. 이때 도형의 중심과 꼭짓점 사이의 거리는 $\overline{CM^{\prime}}=3$이다.

$xy$평면 위에 그려지는 도형은 정$n$각형의 변 위의 점을 중심으로 하는 반지름이 1인 원이 지나가는 영역과 정$n$각형 내부가 될 것이다. 정육각형일 때 그림은 아래와 같다.

1. 반지름이 1인 부채꼴의 넓이의 합: 중심각을 모두 더한 값은 외각의 합인 $2\pi$와 같으므로 넓이의 합은 $\pi$
2. 정$n$각형의 각 변을 가로로 하고 세로는 길이가 1인 $n$개의 직사각형 넓이의 합
3. 중심과 꼭짓점 사이의 거리가 $3$인 정$n$각형의 넓이: 두 변은 길이가 모두 3이고 사잇각은 크기가 $2\pi/n$인 이등변 삼각형 $n$개 넓이의 합

$$S_n=1+2+3$$

$$\begin{split}S_n&=\pi+n\cdot 6\sin\frac{\pi}{n}\cdot 1+n\cdot \frac{1}{2}\cdot 3^2\sin\frac{2\pi}{n}\\&=\pi+6n\sin\frac{\pi}{n}+\frac{9n}{2}\sin\frac{2\pi}{n}\end{split}$$

(3) $$\begin{split}\lim_{n\rightarrow\infty}S_n&=\pi+\lim_{n\rightarrow\infty}6n\sin\frac{\pi}{n}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{9n}{2}\sin\frac{2\pi}{n}\\&=\pi+6\pi+9\pi\\&=16\pi\end{split}$$