2023학년도 서울대 수시 구술면접 수학 문제
수학이야기/면접논술 2023. 8. 16. 18:09문제
포물선 $C_1$의 방정식은 $y=-x^2+1$이고, 점$P_1$의 좌표는 $(1,0)$이다. 직선 $l$은 포물선 $C_1$ 위의 점 $(c,-c^2+1)$에서의 접선이다. (단, $c$는 $\displaystyle{\frac{1}{2}<c<1}$인 고정된 실수이다.) 포물선 $C_2$는 $C_1$을 평행이동한 포물선이고 직선 $l$과 접하며 $P_1$을 지난다. (단, $C_1$와 $C_2$은 서로 다르다.) 점 $P_2(q_2,0)$은 $C_2$와 $x$축과의 교점이다. (단, $P_1$와 $P_2$은 서로 다르다.)
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포물선 $C_2$의 꼭짓점의 $x,y$ 좌표를 각각 $c$에 대한 식으로 나타내시오.
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직선 $x=q_2$와 직선 $l$ 및 포물선 $C_2$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $c$에 대한 식으로 나타내시오.
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위와 같이 모든 자연수 $k$에 대하여 포물선 $C_k$와 $C_k$ 위의 점 $P_k(q_k,0)$이 주어져 있을 때, 포물선 $C_{k+1}$ 위의 점 $P_{k+1}(q_{k+1},0)$이 다음과 같이 주어진다.
(1) 포물선 $C_{k+1}$은 $C_1$을 $x$축의 방향으로 $a_{k+1}$만큼, $y$축의 방향으로 $b_{k+1}$만큼 평행이동한 포물선이고 직선 $l$과 접하며 $P_k$를 지난다. (단, $C_{k+1}$과 $C_{k}$는 서로 다르다.)
(2) 점 $P_{k+1}$은 $C_{k+1}$과 $x$축과의 교점이다. (단, $P_{k+1}$과 $P_{k}$는 서로 다르다.)
$a_{k+1}$을 $a_{k},q_k,c$에 대한 식으로 나타내고, (필요하다면 이를 이용하여)
$q_{k+1}$을 $a_{k},q_k,c$에 대한 식으로 나타내시오. (단, $a_1=b_1=1$, $q_1=1$)
풀이
1.1.
직선 $l$의 방정식은 $$y=-2c(x-c)-c^2+1$$
$$y=-2cx+c^2+1\tag{1}$$이다.
포물선 $C_2$의 방정식은$$y=-(x-1)(x-q_2)\tag{2}$$이다.
(1)과 (2)가 서로 접하므로 아래 방정식에서 판별식의 값은 $0$이다.
$$-2cx+c^2+1=-x^2+(1+q_2)x-q_2$$
$$x^2-(q_2+1+2c)x+c^2+q_2+1=0\tag{3}$$
$$D=(q_2+1+2c)^2-4(c^2+q_2+1)=0$$
정리하면 $$q_2^2-2(1-2c)q_2+4c-3=(q_2+1)(q_2+4c-3)=0$$이다. $q_2=-1$이면 두 포물선 $C_1,C_2$가 일치하므로 $q_2=-4c+3$이다.
따라서 포물선 $C_2$의 꼭짓점의 $x$좌표는
$$\frac{1+q_2}{2}=\frac{-4c+4}{2}=-2c+2$$이고 $y$좌표는 (2)에서
$$-(-2c+2-1)(-2c+2+4c-3)=-(-2c+1)(2c-1)=(2c-1)^2$$이다.
1.2.
(3)을 $q_2=-4c+3$을 대입하여 정리하면
$$x^2-(-2c+4)x+c^2 -4c+4=0$$에서
$$(x+c-2)^2=0$$이다.
직선 $l$과 포물선 $C_2$가 만나는 점의 $x$좌표는 $-c+2$이다.
따라서 주어진 영역의 넓이를 아래와 같이 정적분으로 구하면 된다.
\begin{split}A&=\int_{q_2}^{-c+2}[-2cx+c^2+1+(x-1)(x-q_2)]dx\\&=\int_{-4c+3}^{-c+2}(x+c-2)^2dx\\&=\frac{1}{3}(3c-1)^3\end{split}
1.3.
포물선 $C_{k+1}$의 방정식은
$$y=-(x-a_{k+1})^2+1+b_{k+1}=-x^2+2a_{k+1}x-a_{k+1}^2 +b_{k+1}+1$$이다.
조건에 따라 포물선 $C_{k+1}$은 직선 $l$과 접하므로 $x$에 대한 이차방정식
$$-x^2+2a_{k+1}x-a_{k+1}^2+b_{k+1}+1=-2cx+c^2+1$$은 중근을 가진다. 정리하면
$$x^2-2(a_{k+1}+c)x+a_{k+1}^2-b_{k+1}+c^2=0$$
이다. 판별식을 정리하자.
$$D/4=(a_{k+1}+c)^2-a_{k+1}^2+b_{k+1}-c^2=2ca_{k+1}+b_{k+1}=0$$
$$b_{k+1}=-2ca_{k+1}\tag{4}$$
마찬가지로 포물선 $C_k$도 직선 $l$과 접하므로
$$b_{k}=-2ca_{k}\tag{5}$$이다.
또한 $C_{k+1}$의 방정식은 $x$축과의 교점이 $(q_k,0),(q_{k+1},0)$이므로 $x$에 대한 이차방정식
$$-x^2+2a_{k+1}x-a_{k+1}^2 +b_{k+1}+1=0$$ 의 두 근은 $q_k, q_{k+1}$이다.
(4)를 대입하여 정리하면
$$x^2-2a_{k+1}x+a_{k+1}^2 +2ca_{k+1}-1=0\tag{6}$$이다.
마찬가지로
또한 $C_{k}$의 방정식은 $x$축과의 교점이 $(q_{k-1},0),(q_{k},0)$이므로 $x$에 대한 이차방정식
$$-x^2+2a_{k}x-a_{k}^2 +b_{k}+1=0$$ 의 두 근은 $q_{k-1}, q_{k}$이다.
(5)를 대입하여 정리하면
$$x^2-2a_{k}x+a_{k}^2 +2ca_{k}-1=0\tag{7}$$이다.
(6)과 (7)은 공통근 $q_k$를 갖는다.
$q_k$ 를 대입하여 (6)-(7)을 정리하자.
$$-2(a_{k+1}-a_k)q_k+(a_{k+1}-a_k)(a_{k+1}+a_k) +2c(a_{k+1}-a_k)=0$$
$$(a_{k+1}-a_k)(-2q_k+a_{k+1}+a_k+2c)=0$$이다.
두 점 $P_{k},P_{k+1}$이 서로 다르므로 $a_{k}\not=a_{k+1}$이므로
$$-2q_k+a_{k+1}+a_k+2c=0$$
$$a_{k+1}=-a_{k}+2q_k-2c$$이다.
한편,
$$a_{k+1}=\frac{q_{k+1}+q_k}{2}$$이므로
$$q_{k+1}=-q_k+2a_{k+1}=-q_k+2(-a_k+2q_k-2c)=3a_k-2a_k-4c$$이다.
