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2023학년도 서울대 수시 구술면접 수학 문제::::수학과 사는 이야기

2023학년도 서울대 수시 구술면접 수학 문제

수학이야기/면접논술 2023. 8. 16. 18:09
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문제

포물선 C1의 방정식은 y=x2+1이고, 점P1의 좌표는 (1,0)이다. 직선 l은 포물선 C1 위의 점 (c,c2+1)에서의 접선이다. (단, c12<c<1인 고정된 실수이다.) 포물선 C2C1을 평행이동한 포물선이고 직선 l과 접하며 P1을 지난다. (단, C1C2은 서로 다르다.) 점 P2(q2,0)C2x축과의 교점이다. (단, P1P2은 서로 다르다.)

.

포물선 C2의 꼭짓점의 x,y 좌표를 각각 c에 대한 식으로 나타내시오.

.

직선 x=q2와 직선 l 및 포물선 C2로 둘러싸인 도형의 넓이를 c에 대한 식으로 나타내시오.

.

위와 같이 모든 자연수 k에 대하여 포물선 CkCk 위의 점 Pk(qk,0)이 주어져 있을 때, 포물선 Ck+1 위의 점 Pk+1(qk+1,0)이 다음과 같이 주어진다.

(1) 포물선 Ck+1C1x축의 방향으로 ak+1만큼, y축의 방향으로 bk+1만큼 평행이동한 포물선이고 직선 l과 접하며 Pk를 지난다. (단, Ck+1Ck는 서로 다르다.)

(2) 점 Pk+1Ck+1x축과의 교점이다. (단, Pk+1Pk는 서로 다르다.)

ak+1ak,qk,c에 대한 식으로 나타내고, (필요하다면 이를 이용하여)

qk+1ak,qk,c에 대한 식으로 나타내시오. (단, a1=b1=1, q1=1)

 

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풀이

1.1.

직선 l의 방정식은 y=2c(xc)c2+1

y=2cx+c2+1이다.

포물선 C2의 방정식은y=(x1)(xq2)이다.

(1)과 (2)가 서로 접하므로 아래 방정식에서 판별식의 값은 0이다.

2cx+c2+1=x2+(1+q2)xq2

x2(q2+1+2c)x+c2+q2+1=0

D=(q2+1+2c)24(c2+q2+1)=0

정리하면 q222(12c)q2+4c3=(q2+1)(q2+4c3)=0이다. q2=1이면 두 포물선 C1,C2가 일치하므로 q2=4c+3이다.

따라서 포물선 C2의 꼭짓점의 x좌표는

1+q22=4c+42=2c+2이고 y좌표는 (2)에서

(2c+21)(2c+2+4c3)=(2c+1)(2c1)=(2c1)2이다.

1.2.

(3)을 q2=4c+3을 대입하여 정리하면

x2(2c+4)x+c24c+4=0에서

(x+c2)2=0이다.

직선 l과 포물선 C2가 만나는 점의 x좌표는 c+2이다.

따라서 주어진 영역의 넓이를 아래와 같이 정적분으로 구하면 된다.

A=c+2q2[2cx+c2+1+(x1)(xq2)]dx=c+24c+3(x+c2)2dx=13(3c1)3

1.3.

포물선 Ck+1의 방정식은

y=(xak+1)2+1+bk+1=x2+2ak+1xa2k+1+bk+1+1이다.

조건에 따라 포물선 Ck+1은 직선 l과 접하므로 x에 대한 이차방정식

x2+2ak+1xa2k+1+bk+1+1=2cx+c2+1은 중근을 가진다. 정리하면

x22(ak+1+c)x+a2k+1bk+1+c2=0

이다. 판별식을 정리하자.

D/4=(ak+1+c)2a2k+1+bk+1c2=2cak+1+bk+1=0

bk+1=2cak+1

마찬가지로 포물선 Ck도 직선 l과 접하므로

bk=2cak이다.

또한 Ck+1의 방정식은 x축과의 교점이 (qk,0),(qk+1,0)이므로 x에 대한 이차방정식

x2+2ak+1xa2k+1+bk+1+1=0 의 두 근은 qk,qk+1이다.

(4)를 대입하여 정리하면

x22ak+1x+a2k+1+2cak+11=0이다.

마찬가지로

또한 Ck의 방정식은 x축과의 교점이 (qk1,0),(qk,0)이므로 x에 대한 이차방정식

x2+2akxa2k+bk+1=0 의 두 근은 qk1,qk이다.

(5)를 대입하여 정리하면

x22akx+a2k+2cak1=0이다.

(6)과 (7)은 공통근 qk를 갖는다.

qk 를 대입하여 (6)-(7)을 정리하자.

2(ak+1ak)qk+(ak+1ak)(ak+1+ak)+2c(ak+1ak)=0

(ak+1ak)(2qk+ak+1+ak+2c)=0이다.

두 점 Pk,Pk+1이 서로 다르므로 akak+1이므로

2qk+ak+1+ak+2c=0

ak+1=ak+2qk2c이다.

한편,

ak+1=qk+1+qk2이므로

qk+1=qk+2ak+1=qk+2(ak+2qk2c)=3ak2ak4c이다.

2023학년도 서울대학교 수시모집 일반전형 면접 및 구술고사 문항_수학4 (1).pdf
0.20MB

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