2023학년도 서울대 수시 구술면접 수학 문제
수학이야기/면접논술 2023. 8. 16. 18:09포물선 C1의 방정식은 y=−x2+1이고, 점P1의 좌표는 (1,0)이다. 직선 l은 포물선 C1 위의 점 (c,−c2+1)에서의 접선이다. (단, c는 12<c<1인 고정된 실수이다.) 포물선 C2는 C1을 평행이동한 포물선이고 직선 l과 접하며 P1을 지난다. (단, C1와 C2은 서로 다르다.) 점 P2(q2,0)은 C2와 x축과의 교점이다. (단, P1와 P2은 서로 다르다.)
포물선 C2의 꼭짓점의 x,y 좌표를 각각 c에 대한 식으로 나타내시오.
직선 x=q2와 직선 l 및 포물선 C2로 둘러싸인 도형의 넓이를 c에 대한 식으로 나타내시오.
위와 같이 모든 자연수 k에 대하여 포물선 Ck와 Ck 위의 점 Pk(qk,0)이 주어져 있을 때, 포물선 Ck+1 위의 점 Pk+1(qk+1,0)이 다음과 같이 주어진다.
(1) 포물선 Ck+1은 C1을 x축의 방향으로 ak+1만큼, y축의 방향으로 bk+1만큼 평행이동한 포물선이고 직선 l과 접하며 Pk를 지난다. (단, Ck+1과 Ck는 서로 다르다.)
(2) 점 Pk+1은 Ck+1과 x축과의 교점이다. (단, Pk+1과 Pk는 서로 다르다.)
ak+1을 ak,qk,c에 대한 식으로 나타내고, (필요하다면 이를 이용하여)
qk+1을 ak,qk,c에 대한 식으로 나타내시오. (단, a1=b1=1, q1=1)
풀이
1.1.
직선 l의 방정식은 y=−2c(x−c)−c2+1
y=−2cx+c2+1이다.
포물선 C2의 방정식은y=−(x−1)(x−q2)이다.
(1)과 (2)가 서로 접하므로 아래 방정식에서 판별식의 값은 0이다.
−2cx+c2+1=−x2+(1+q2)x−q2
x2−(q2+1+2c)x+c2+q2+1=0
D=(q2+1+2c)2−4(c2+q2+1)=0
정리하면 q22−2(1−2c)q2+4c−3=(q2+1)(q2+4c−3)=0이다. q2=−1이면 두 포물선 C1,C2가 일치하므로 q2=−4c+3이다.
따라서 포물선 C2의 꼭짓점의 x좌표는
1+q22=−4c+42=−2c+2이고 y좌표는 (2)에서
−(−2c+2−1)(−2c+2+4c−3)=−(−2c+1)(2c−1)=(2c−1)2이다.
1.2.
(3)을 q2=−4c+3을 대입하여 정리하면
x2−(−2c+4)x+c2−4c+4=0에서
(x+c−2)2=0이다.
직선 l과 포물선 C2가 만나는 점의 x좌표는 −c+2이다.
따라서 주어진 영역의 넓이를 아래와 같이 정적분으로 구하면 된다.
A=∫−c+2q2[−2cx+c2+1+(x−1)(x−q2)]dx=∫−c+2−4c+3(x+c−2)2dx=13(3c−1)3
1.3.
포물선 Ck+1의 방정식은
y=−(x−ak+1)2+1+bk+1=−x2+2ak+1x−a2k+1+bk+1+1이다.
조건에 따라 포물선 Ck+1은 직선 l과 접하므로 x에 대한 이차방정식
−x2+2ak+1x−a2k+1+bk+1+1=−2cx+c2+1은 중근을 가진다. 정리하면
x2−2(ak+1+c)x+a2k+1−bk+1+c2=0
이다. 판별식을 정리하자.
D/4=(ak+1+c)2−a2k+1+bk+1−c2=2cak+1+bk+1=0
bk+1=−2cak+1
마찬가지로 포물선 Ck도 직선 l과 접하므로
bk=−2cak이다.
또한 Ck+1의 방정식은 x축과의 교점이 (qk,0),(qk+1,0)이므로 x에 대한 이차방정식
−x2+2ak+1x−a2k+1+bk+1+1=0 의 두 근은 qk,qk+1이다.
(4)를 대입하여 정리하면
x2−2ak+1x+a2k+1+2cak+1−1=0이다.
마찬가지로
또한 Ck의 방정식은 x축과의 교점이 (qk−1,0),(qk,0)이므로 x에 대한 이차방정식
−x2+2akx−a2k+bk+1=0 의 두 근은 qk−1,qk이다.
(5)를 대입하여 정리하면
x2−2akx+a2k+2cak−1=0이다.
(6)과 (7)은 공통근 qk를 갖는다.
qk 를 대입하여 (6)-(7)을 정리하자.
−2(ak+1−ak)qk+(ak+1−ak)(ak+1+ak)+2c(ak+1−ak)=0
(ak+1−ak)(−2qk+ak+1+ak+2c)=0이다.
두 점 Pk,Pk+1이 서로 다르므로 ak≠ak+1이므로
−2qk+ak+1+ak+2c=0
ak+1=−ak+2qk−2c이다.
한편,
ak+1=qk+1+qk2이므로
qk+1=−qk+2ak+1=−qk+2(−ak+2qk−2c)=3ak−2ak−4c이다.
수학이야기님의
글이 좋았다면 응원을 보내주세요!