영재고 입시 문제 하나 더_2024년 광주과학고등학교

광주과학고등학교에 지원하는 학생이 추천서를 부탁해서 자료를 찾다가 기출문제를 보았다. 어려운 문제는 나중을 기약하고 쉽게 풀린 문제만 먼저 올린다. 세종과학예술영재학교도 같은 문제가 있으니 공동으로 출제하는 모양이다.

중심이 $O$인 원에 내접하는 사각형 $ABCD$에서 $\angle AOB+\angle COD=180^{\circ}$이다. 다음 물음에 답하시오.

(1) $\overline{AC}=2,\;\;\overline{BD}=3$일 때,  사각형 $ABCD$의 넓이를 구하고 그 과정을 설명하시오.

 

(2) 두 선분 $AB,\;\;CD$의 길이가 모두 자연수이고 $\overline{BC}^2+\overline{DA}^2 =65$일 때, $\overline{AB},\;\;\overline{CD}$가 될 수 있는 값들을 모두 구하고 그 과정을 설명하시오.

아래 그림과 같이 두 선분 $AC$와 $BD$가 만나는 점을 $E$라고 하자.

(1) 풀이

원주각의 성질에 따라

$$\angle AOB=2\times \angle ADE\tag{1}$$

$$\angle COD=2\times \angle CAD\tag{2}$$

(1)+(2)하면

$$2(\angle ADE+\angle CAD)=180^{\circ}$$

$$\angle ADE+\angle CAD=90^{\circ}$$

이다. 따라서  $\angle AED=90^{\circ}$이다.

$\overline{AE}=h$라고 하자.

$$\begin{split} \square ABCD&=\triangle ABD+ \triangle BCD \\&=\frac{1}{2} \times \overline{BD} \times \overline{AE} +\frac{1}{2}\times \overline{BD} \times \overline{CE} \\&=\frac{1}{2} \times 3 \times h +\frac{1}{2}\times 3\times (2-h)\\&=3\end{split}$$

(2) 풀이

$$\begin{split}\overline{BC}^2+\overline{DA}^2&=\overline{BE}^2+\overline{CE}^2+\overline{AE}^2+\overline{DE}^2\\&=\overline{BE}^2+\overline{AE}^2+\overline{CE}^2+\overline{DE}^2\\&=\overline{AB}^2+\overline{CD}^2 \end{split}$$

따라서 $$\overline{AB}^2+\overline{CD}^2 =65$$ 를 만족하는 자연수를 찾으면 된다.

먼저 65를 완전제곱수의 합으로 나타내는 방법은 $1+64,\;\;16+49$이다.

따라서 정답은 $1,\;8$ 또는 $4,\;7$이다.

 

 

광주과학고등학교 기출문제

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