2025학년도 수능 수학 20번

수학 교사는 수학 문제를 어렵게 만드는 방법을 연구해야 한다. 최소한이라도 변별하려면 모든 문제를 쉽게 낼 수는 없기 때문이다. 여러 가지 가운데 공식을 외워서 쓰지 못하게 하는 것이 으뜸이다. 그렇다고 공식을 몰라도 된다는 말은 아니다. 사실 공식으로 풀어내는 문제가 더 많다. 하지만 이런 문제는 가장 난도가 낮은 문제이고 대부분 학생을 줄 세우는 변별력이 높은 문제는 절대로 공식만으로 해결할 수 없다. 따라서 1등급을 위해선 공식을 외우는 것은 당연하고 이해하고 있어야 한다.

간단한 지수함수로 만든 문제이니 쉽게 보이지만 4점짜리 문제다.

함수가 항등함수 $y=x$와 만나는 점이 나오고 $f(f(x))=3x$와 같은 표현이 등장하니 분위기는 역함수를 이용하는 문제이다. 지수함수의 역함수는 로그함수와 같은 공식이 떠오른다. 그런데 살짝 $3x$라서 문제다. 요기만 잘 해결하면 문제가 풀릴 것이다.

어디서부터 시작해야 할까? 수학문제는 항상 구하려고 하는 것을 명확하게 해두는 것이 먼저다. 이런 문제에선 당연히 $k$의 값에 주목해야 한다. 

만나는 점 $(k,k)$를 곡선 $y=5^{3-x}$에 대입해 보자.

$$k=5^{3-k}$$

$$k \times 5^k=5^3$$

양변을 세제곱하자. 문제에서 필요한 것을 먼저 살펴봐야 이런 방법을 떠올릴 수 있다.

$$k^3 \times 5^{3k}=5^9$$

이렇게 고치면 문제는 아래와 같이 간단해진다.

$$\displaystyle{f\left(\frac{1}{k^3\times 5^{3k}}\right)=f(5^{-9})}\tag{1}$$

이제 $f(f(x))=3x$를 고쳐야 한다.

$f(12)=5^{-9}$이므로 $f(5^{-9})=f(f(12))=3\times 12=36$이다. 

개념만 있으면 공식은 필요 없다. 어쩌면 이런 문제가 훨씬 좋은 문제다.

결국 (1)을 생각하는 것이 관건이다. 지름길로 가느냐 돌아가느냐가 달려있다.

여기서도 역함수를 구해서 풀어도 된다.

$$f(x)=f(f(f^{-1}(x)))=3f^{-1}(x)=3(3-\log_5 x)\tag{2}$$

(2)와 같은 식을 처음부터 생각하지 말자. 이런 공식은 항상 마지막으로 생각하자.