테일러 급수

테일러 급수는 원하는 만큼 미분 가능한 함수를 아래와 같이 다항함수의 무한급수로 나타내는 것이다.

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n = c_0f(a)+c_1 (x-a)+c_2 (x-a)^2 +c_3 (x-a)^3 +\cdots$$

양변을 미분해 나가며 계수를 구한다.

먼저 $x=a$를 대입하면 $c_0 =1$ 이다.

한번 미분하면

$$f '(x)= c_1 +2c_2 (x-a)^1 +3c_3 (x-a)^2 +\cdots$$

먼저 $x=a$를 대입하면 $c_1 =f'(a)$ 이다.

두번 미분하면

$$f ''(x)= 2c_2  +3\cdot2 c_3 (x-a)^1 +\cdots$$

먼저 $x=a$를 대입하면 $\displaystyle{c_2 =\frac{f''(a)}{2\cdot1}}$ 이다.

귀납적으로 정리하면 $\displaystyle{c_n =\frac{f^{n}(a)}{n!}}$이다. (단, $f^{n}(x)$은 $n$차 도함수)

따라서 테일러 급수는 아래와 같다.

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{n}(a)}{n!} (x-a)^n$$

$a=0$를 맥클라인 급수로 부른다.

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^n(0)}{n!} x^n$$

이 급수를 써서 함수를 다항함수로 비슷한 함수로 나타낼 수 있다.

보기를 들면 $x=0$ 가까운 곳에서 $\sin x$를 7차 다항식으로 나타내면

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}$$

이다. 그래프로 비교해보면 거의 비슷하다.