2-3 삼차방정식과 사차방정식

다항식 $P(x)$가 $x$에 대한 삼차식, 사차식일 때 방정식

$$P(x)=0\tag{1}$$

을 각각 $x$에 대한 삼차방정식, 사차방정식이라고 한다.

이차방정식은 근의 공식을 쉽게 익힐 수 있어서 일반적으로 해를 모두 구할 수 있다. 그러나 삼차방정식과 사차방정식은 근의 공식을 익히는 일이 매우 어렵다. 그러므로 고교 과정에 있는 삼차 이상의 방정식은 모두 인수분해가 되는 꼴만 다룬다. 1단원 다항식에서 배운 인수분해를 충분히 연습해야 한다. 몇 가지 기술을 소개하려고 한다.

인수정리와 조립제법 이용

가장 많이 나오는 유형이다.

상수항의 약수(음수 포함) 가운데 $P(\alpha)=0$인 $\alpha$를 찾고 조립제법으로 인수분해한다. 참고: 최고차항의 계수가 1이 아니라면 1이 되도록 만들어야 한다. 최고차항의 계수가 1이 아닌 복잡한 유형을 굳이 연습할 필요는 없다.

$$x^3 +x^2 -6x+4=0\tag{2}$$

$P(x)=x^3 +x^2 -6x +4$라 하면 $P(1)=0$이므로 $x-1$은 $P(x)$의 인수이다. 당연히 $x=1$은 방정식의 해이다.

$$(x-1)(x^2 +2x-4)=0$$

구하는 해는 $x=1$ 또는 $x=-1\pm \sqrt5$이다.

$$x^4 -3x^3 -x^2 +5x +2=0\tag{3}$$

$2$의 약수인 $-1, \,\,-2, \,\,1, \,\,2$를 $P(x)$에 대입하여 $P(-1)=0,\,\,P(2)=0$임을 확인한다.

두 인수 $x+1$과 $x-2$임을 알았으므로 조립제법으로 인수분해한다.

$$(x+1)(x-2)(x^2 -2x -1)=0$$

구하는 해는 $x=-1$ 또는 $x=2$ 또는 $x=1\pm\sqrt2$

복이차식

짝수 차수만 있는 다항식을 복이차식이라 부르는데 공식 용어는 아니다. 이런 방정식은 인수정리로 해를 찾을 수 없는 것이 있다.

치환을 이용

$$x^4 -2x^2-3=0\tag{4}$$

상수항의 약수 모두 인수정리를 만족시킬 수 없다.

$X=x^2$으로 치환하면 $X^2 -2X-3=(X-3)(X+1)$이다.

다시 되돌리면 

$$(x^2 -3)(x^2 +1)=0$$

따라서 방정식의 해는 $x=\pm\sqrt3$ 또는 $x=\pm i$

합차 공식을 이용

$$x^4+x^2+1=0\tag{5}$$

이것은 위와 같이 치환해서 만든 이차방정식을 인수분해할 수 없다. $0$을 더하는 특별한 기술이 필요하다. $x^2 -x^2$을 더해 완전제곱식의 차로 바꾼다. 조금만 연습하면 느낌이 온다.

$$x^4+x^2 +x^2+1 -x^2=0$$

$$x^4+2x^2 +1 -x^2=0$$

$$(x^2+1 )^2 -x^2=0$$

$$(x^2-x+1 )(x^2 + x+1)=0$$

따라서 방정식의 해는 $\displaystyle{x=\frac{1\pm\sqrt3 i}{2}}$ 또는 $\displaystyle{x=\frac{-1\pm\sqrt3 i}{2}}$ 

계수가 대칭을 이루는 방정식

가장 귀찮은 유형이다. 아래 방정식도 상수항의 약수 가운데 근이 없다. 매우 특별한 기술이 필요하다.

$$x^4 -2x^3 -5x^2 +2x+1=0\tag{6}$$

$x\not =0$이므로 $x^2$으로 양변을 나눈다.

$$x^2 -2x-5 +\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=0$$

$$x^2 +\frac{1}{x^2} -2\left(x-\frac{1}{x} \right)-5=0$$

$$\left(x -\frac{1}{x}\right)^2 +2 -2\left(x-\frac{1}{x} \right)-5=0$$

$$\left(x -\frac{1}{x}\right)^2 -2\left(x-\frac{1}{x} \right)-3=0$$

$$\left(x -\frac{1}{x}-3\right)\left(x-\frac{1}{x}+1 \right)=0$$

다시 $x^2$으로 양변을 곱한다.

$$(x^2 -3x-1)(x^2 +x-1)=0$$

따라서 주어진 방정식의 해는 $\displaystyle{x=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}}$ 또는 $\displaystyle{x=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}}$ 

 

옛날엔 복잡한 방정식이 모두 시험에 나왔지만 이제는 아니다. 2022개정 교육과정의 A 성취수준은 아래와 같다.

간단한 삼차방정식과 사차방정식을 풀고 그 과정을 설명할 수 있다.

따라서 (2), (3)과 같은 유형만 확실하게 공부하면 되지 않을까 생각한다. 나머지는 아 이런 것도 있다는 정도면 될 것이다. 물론 많이 알면 더 좋으니 여유가 된다면 모두 공부해 두는 것이 당연히 좋다.

방정식은 해를 쌍으로 가진다?

근을 구하기 위해 계수가  정수인 범위까지 인수분해가 된 모양을 생각하자. 마지막까지 남은 2차식이 있다면 근의 공식을 사용하게 된다.

계수가 실수인 방정식이 어떤 복소수 해를 가지면 그 복소수의 켤레복소수도 해가 된다. 

$P(a+bi)=0$이면 $P(a-bi)=0$이다. (단, $a,b$는 실수)

계수가 유리수인 방정식이 근호가 있는 해를 가지는 경우도 마찬가지다.

$P(a\pm\sqrt{b})=0$이면 $P(a\mp\sqrt{b})=0$이다.  (단, $a,b$는 유리수)

예제 $x^3 +ax^2 +bx -4=0$의 한 근이 $1+i$일 때, 실수 $a,\,b$의 값과 나머지 두 근을 구하시오.

풀이 1. $1+i$가 근이므로 $$\begin{split}(1+i)^3 +a(1+i)^2 +b(1+i)-4\\=2i(1+i)+a\times 2i+b(1+i)-4\\=2i-2+2ai+b+bi-4\\=b-6+(2+2a+b)i\\=0\end{split}$$에서 $a=-4,\,b=6$이다.

$x^3 -4x^2 +6x-4=(x-2)(x^2 -2x +2)=0$에서 나머지 두 근은 $x=1-i$ 또는 $x=2$이다.

풀이 2. 계수가 모두 실수이므로 $1+i$가 근이면 $1-i$도 근이다.

근과 계수와의 관계에 따라 두 근이 $1\pm i$인 이차방정식은 $x^2 -2x +2=0$이므로 주어진 방정식은

$$x^3 +ax^2 +bx-4=(x^2-2x +2)(x-\alpha)=0$$로 인수분해된다.

여기서 $\alpha=2$임을 쉽게 알 수 있다. 전개하여 $a=-4,\,b=6$임을 구할 수 있다.

 

풀이 2를 더 빠르게 해결하려면 이전 교육과정에 있는 삼차방정식의 근과 계수와의 관계를 알면 좋다.

$$ax^3 +bx^2 +cx+d=0\tag{7}$$

양변을 $a$로 나누어도 근은 달라지지 않는다.

$$x^3 +\frac{b}{a}x^2 +\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0\tag{7-1}$$

방정식 (7-1)의 세 근이 $\alpha, \,\beta,\,\gamma$라면 아래와 같이 인수분해된다.

$$(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0\tag{8}$$

$$x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2 +(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma=0\tag{8-1}$$

(7-1)과 (8-1)을 비교하여 아래와 같은 삼차방정식의 근과 계수와의 관계를 얻는다. 2022개정 교육과정에 없는 이런 것까지 모두 다루려면 수업 시수가 부족하다. 교육과정을 바꾸어도 고난도를 강점으로 내세우는 문제집이나 학원에서는 이런 걸 이용하는 문제를 다루는 것이 문제다. 잘하는 학생을 위해 과제로 제시해야겠다. 

$$\begin{split}\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}\\\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a}\\\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}\end{split}$$

실력이 제대로 길러지지 않은 상태에서 교육과정에 없는 걸 너무 깊이 다루는 것은 시간 낭비로 보인다. 오히려 방정식의 근의 의미를 제대로 이해한다면 공식없이도 잘 풀 수 있다.