행렬의 시작

고등학교 교육과정에서 사라졌던 행렬이 2022 개정 교육과정에서 다시 등장하였다. 다행히 공통수학 1에서 잠깐 나오기 때문에 간단한 문제만 다루면 된다. 행렬은 진로선택 과목인 경제수학이나 전문선택 과목인 고급 대수에 나오므로 수학능력시험에는 공통수학 수준 문제만 나올 것으로 예상된다. 따라서 일부 학원에서 다루는 난도가 매우 높은 옛날 교육과정 문제는 다룰 필요가 없다고 생각한다. 행렬은  처음 보는 이에겐 굉장히 낯설게 느껴져서 간단한 문제도 마냥 쉽지는 않을 수 있으므로 처음 배울 때 주의가 필요하다. 

행렬은 어디서 나왔을까? 연립방정식을 푸는 과정을 살펴보면 문자는 자리만 지키고 있을 뿐 별다른 일을 하지 않는다. 오로지 계수와 상수항이 일을 한다. 이것을 아래와 같이 계수와 상수항을 따로 떼어내 적어 보았다. 가우스 소거법이라 불리는 방법이다. 문자가 2~3개라면 그냥 푸는 것이 훨씬 간단하지만 문자가 많아지면 일차연립방정식도 해를 구하기 쉽지 않다.

 

행렬의 뜻

수학에서 숫자만 따로 떼어낸 덩어리를 대상으로 삼아 많은 문제를 해결할 수 있다. 이때 다루는 숫자 뭉치를 행렬이라고 한다. 당연히 숫자를 대신하는 문자도 넣을 수 있다.

정리하면 행렬은 수나 문자를 직사각형 모양으로 배열하여 괄호로 묶어 놓은 것이다. 행렬을 구성하는 각각의  수 또는 문자를 그 행렬의 성분이라고 한다. 행렬은 좌표와 달리 성분을 구분하기 위해 ','와 같은 기호는 사용하지 않고 띄어쓰기만 한다.

행렬에서 성분을 가로로 배열한 줄을 행이라 하고, 위에서부터 차례로 제1행, 제2행, $\cdots$, 제 m행이라고 한다. 또 성분을 세로로 배열한 줄은 열이라 하고, 왼쪽에서부터 차례로 제1열, 제2열, $\cdots$, 제n열이라고 한다. 일반적으로 m개의 행과 n개의 열로 이루어진 행렬을 $m \times n$ 행렬이라고 한다. 특히 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬을 정사각행렬이라 하고, $n \times n$ 행렬을 n차정사각행렬이라고 한다. 

일반적으로 행렬은 대문자 $A,B,C,\cdots$로 성분은 소문자 $a,b,c,\cdots$로 나타낸다. 행렬 $A$에서 제$i$행과 제$j$열이 만나는 위치에 있는 성분을 행렬 $A$의 $(i,j)$ 성분이라 하고, 기호로 $$a_{ij}$$와 같이 나타낸다.

예제 $A$의 $(i,j)$ 성분 $a_{ij}$는 $a_{ij}=i+j$이라고 하자.

$A$가 $2\times 3$ 행렬이라고 한다면 아래와 같다.

$$A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2&3&4\\3&4&5 \end{pmatrix} $$

서로 같은 행렬

두 행렬 $A,B$의 행의 개수와 열의 개수가 각각 같을 때, 이 두 행렬은 같은 꼴이라고 한다. 두 행렬 $A,B$가 같은 꼴이고 대응하는 성분이 각각 같을 때, 두 행렬 $A,B$는 서로 같다고 하고, 기호로 

$$A=B$$와 같이 나타낸다.

행렬의 연산

행렬의 덧셈과 뺄셈

두 행렬 $A,B$가 같은 꼴일 때, 두 행렬의 대응하는 각 성분끼리 더하여 얻은 행렬을 행렬 A와 행렬 B의 합이라 하고 기호로 $$A+B$$와 같이 나타낸다.

마찬가지로 두 행렬 $A,B$가 같은 꼴일 때, 두 행렬의 대응하는 각 성분을 빼서 얻은 행렬을 행렬 A와 행렬 B의 차라 하고 기호로 $$A-B$$와 같이 나타낸다.

꼴이 같은 행렬끼리만 더하거나 뺄 수 있다.

모든 성분이 $0$인 행렬을 영행렬이라 하고 기호로 $O$로 나타낸다. 행렬의 덧셈에서 영행렬은 실수의 덧셈에서 $0$과 같은 역할을 한다.

$$\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix},\pmatrix{0\\0},\pmatrix{0&0\\0&0},\pmatrix{0&0&0\\0&0&0},\cdots$$

영행렬의 성질 
두 행렬 $A, O$가 같은 꼴일 때,
1) $A+O=O+A=A$   2) $A+(-A)=(-A)+A=O$

행렬의 실수배

문자의 덧셈과 같이 행렬의 덧셈을 다룰 수 있다.

$$a+a=2a, 2a+3a=5a, \cdots$$

같은 행렬을 더한 행렬을 생각해 보자.

예를 들어 $$A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$라고 하면

$$A+A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2a & 2b \\ 2c & 2d \end{pmatrix}$$이다. 

이때, 아래와 같이 표현하면 행렬의 연산을 간편하게 다룰 수 있다. $$\begin{pmatrix} 2a & 2b \\ 2c & 2d \end{pmatrix}=2 \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=2A$$

아래와 같이 실수의 연산처럼 다룰 수 있다.

$$2A+3A=(2+3)A=5A,\,\,2(3A)=3A+3A=6A$$

아래와 같이 행렬의 실수배를 정의한다.

일반적으로 행렬 $A$의 각 성분에 실수 $k$를 곱해서 얻은 행렬을 행렬 $A$의 $k$배라 하고, 기호로 $$kA$$와 같이 나타낸다.

행렬의 실수배는 문자의 실수배와 같은 성질을 가지고 있으므로 같은 방식으로 다루면 된다. 결합법칙과 분배법칙이 아주 잘 적용된다. 실수 $0$과 영행렬 $O$은 반드시 구분하여 표기해야 한다.

두 행렬 $A,B$가 같은 꼴이고, $k,l$이 실수일 때,
1) $1A=A, \,\,(-1)A=-A$
2) $0A=O,\,\,kO=O$
3) $(kl)A=k(lA)$
4) $(k+l)A=kA+lA,\,\,k(A+B)=kA+kB$

행렬의 곱셈

행렬에서 덧셈과 뺄셈 그리고 실수배는 간단하지만 마지막 연산인 곱셈은 간단하지 않다.

아래와 같은 데이터가 있다. 학생별 평균 등급을 구하려고 한다. 먼저 [표1]과 [표2]의 데이터로 [표3]의 결과를 얻을 수 있다. [표3]의 에 있는 합계를 학점의 합인 7로 나누면 평균 등급을 얻을 수 있다.

[표1] 학생의 과목별 등급				[표2] 과목별 학점			[표3] 학생별 점수
	국어	수학			학점			등급$\times$학점의 합계
홍길동	2	3		국어	3		홍길동	$2\times3+3\times 4=18$
허균	1	2		수학	4		학점	$1\times3+2\times 4=11$

이처럼 행과 열의 성분을 곱해서 더하는 경우를 일반화하여 아래와 같이 행렬의 곱셈을 정의한다.

먼저 조건이 있다. 두 행렬 $A,B$에 대하여 행렬 $A$의 열의 개수와 행렬 $B$의 행의 개수가 같아야 한다. 같지 않으면 곱셈을 할 수 없다.

행렬 $A$의 제$i$행과 행렬 $B$의 제$j$열의 성분을 각각 차례로 곱하여 더한 값을 $(i, j)$ 성분으로 하는 행렬을 행렬 $A$와 행렬 $B$의 곱이라 하고, 기호로 $$AB$$로 적는다.

이때 $m\times k$ 행렬 $A$와 $k\times n$ 행렬 $B$의 곱 $AB$는 $m\times n$ 행렬이 된다.

거듭제곱을 할 수 있는 행렬은 반드시 정사각행렬이어야 한다. 행렬 $A$가 정사각행렬일 때, 거듭제곱은 실수와 마찬가지로 아래와 같이 적는다.

$$A^2 =AA , \,\,A^3 =A^2 A,\,\,A^4 =A^3 A ,\,\,\cdots$$

 

2차 정사각행렬의 곱셈$$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e & f \\ g & h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh\end{pmatrix}$$

행렬의 곱셈은 실수의 곱셈과는 다른 성질이 있다.

1) 곱셈에서 교환법칙이 성립하지 않는다.

두 실수 $a,b$에 대하여 항상 $ab=ba$가 성립하지만 두 행렬 $A,B$에 대하여 $$AB \not = BA$$인 경우가 있다. 심지어 $AB$는 있지만 $BA$는 존재하지 않는 경우도 있다.

2) 영인자가 있다. 

두 실수 $a,b$에 대하여 $a\not= 0,\,\,b\not = 0$이면 $ab\not= 0$이다.

하지만 행렬에서는 영행렬이 아닌 두 행렬 $A,B$을 곱해서 영행렬이 되는 경우가 있다.

$$A=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\9 & 6 \end{pmatrix}, \,\,\,B=\begin{pmatrix} -2 & 6 \\3 & -9 \end{pmatrix}$$일 때,

$$AB=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\9 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 6 \\3 & -9 \end{pmatrix}=O$$

이때 두 행렬 $A,B$는 영인자라고 하는데 2022 개정 교육과정 교과서에선 영인자로 이름을 따로 정하여 부르지 않는다.

행렬의 곱셈은 실수의 곱셈과 크게 다르다. $AB=O$이더라도 반드시 $A=O$ 또는 $B=O$이라고 할 수 없다. 즉 아래 명제는 거짓이다. 

$(X-A)(X-B)=O$이면 $X=A$ 또는 $X=B$이다. (거짓)

단위행렬

정사각행렬 중에서

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\,\,\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\cdots$$

과 같이 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려가는 대각선 위의 성분이 모두 1이고 나머지 성분은 0인 n차정사각행렬을 n차단위행렬이라 하고 기호로 $$E$$로 적는다. $I$로 쓰기도 한다.

단위행렬은 특별한 성질이 있다.

두 행렬 $A, E$가 같은 꼴일 때, $$AE=EA=A$$

n차정사각행렬의 곱셈에서 n차단위행렬 $E$는 실수의 곱셈에서 $1$과 같은 역할을 한다.

$$E^n=E$$

 

 

중국에서 시작된 매트릭스

 

가우스 소거법(Gaussian elimination)