직선의 방정식

'세상을 바꾼 17가지 방정식'이란 책에서 피타고라스 정리를 첫 번째로 꼽고 있다.

$$a^2 +b^2 =c^2\tag{1}$$

유클리드 기하학 '원론(Elements)'에 있는 명제 47과 48은 아래와 같다.

Proposition 47. In right-angled triangles the square on the side opposite the right angle equals the sum of the squares on the sides containing the right angle.

직각삼각형에서 직각과 마주 보는 변을 가지고 정사각형을 만들면, 넓이는 나머지 다른 변으로 만든 정사각형 넓이를 더한 것과 같다.  

Proposition 48. If in a triangle the square on one of the sides equals the sum of the squares on the remaining two sides of the triangle, then the angle contained by the remaining two sides of the triangle is right.

어떤 삼각형이 있는데, 한 변을 가지고 만든 정사각형의 넓이가 다른 변으로 만든 두 정사각형 넓이를 더한 것과 같다면 다른 두 변 사이의 각은 직각이다.

명제 47은 직각삼각형은 세 변의 길이는 피타고라스 정리를 만족시키다는 말이고 명제 48은 세 변의 길이가 피타고라스 정리를 만족시키는 삼각형은 직각삼각형이라는 말이다. 두 명제가 모두 참이므로 어떤 삼각형이 직각삼각형이라는 말과 세 변의 길이가 피타고라스 정리를 만족시킨다는 말은 같은 말이다.

유클리드 원론은 (1)처럼 수식을 쓰지 않고 글로만 표현하기 때문에 공부하기 어렵다. 데카르트도 유클리드 원론을 공부하는 일이 힘들었던 모양이다. 그는 결국 좌표를 고안하여 기하를 대수로 대수를 기하로 다루는 해석기하학을 만들어 냈다.

데카르트 기하와 대수를 융합하다

데카르트는 제목이 엄청나게 긴 책을 썼다. 《Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences Plus La Dioptrique, Les Météores et La Géométrie qui sont des essais de cette Méthode》《이성을 올바르게  이끌어 과학에서 진리에 다다르는 방법에 대한 서론과 이 방법에 대한 에세이인 굴절학, 유성학, 기하학》줄여서 '방법서설'로 부르는 철학책의 부록으로 넣은 기하학(La Géométrie)에 세상을 바꾼 엄청난 수학적 방법이 나온다.

진실은 복잡함이나 혼란 속에 있지 않고, 언제나 단순함 속에서 찾을 수 있다. - 르네 데카르트

우리가 중학교에서 배운 좌표평면이 바로 진리에 다다르는 방법을 만들어 낸다. 고등학교에서 본격적으로 도형을 좌표평면에서 다루게 되는데 '도형의 방정식'이 그 첫 번째 단원이다.

대수는 단지 글로 쓴 기하에 불과하며, 기하는 그림으로 그린 대수에 불과하다. - 프랑스 수학자 제르맹

 

참고: 좌표평면을 그릴 때 화살촉은 양의 방향을 나타내므로 위와 같이 한쪽에만 표시해야 한다. 수직선은 양쪽으로 뻗어간다는 뜻으로 좌우에 모두 표시하는 것과 다르다.

이 단원을 공부할 때 새겨들어야 할 도움말을 하나 적는다.

방정식이 어려우면 도형을 그려서 생각하고 도형이 어려우면 방정식으로 바꿔서 생각하라. - 수학이야기

선분의 내분

두 점 사이의 거리

대부분 학생은 수직선 위의 점 $A(4),\,\,B(-3)$ 사이의 거리 $\overline{AB}$는 $7$임을 쉽게 알 수 있다. 하지만 이것을 문자로 표현하면 정확하게 말하지 못한다. 

두 점 $A(x_1 ),\,\,B(x_2 )$ 사이의 거리는 $x_2 -x_1$이라고 답하면 안 된다.

두 수 $x_1,\,x_2$ 사이의 대소 관계가 주어지 않았으므로 두 가지로 생각해야 한다.

$x_1\leq x_2$이면 $x_2-x_1$이고 $x_1>x_2$이면 $x_1-x_2$이다.

반드시 절댓값을 넣어서 표현해야 한다.

$$\overline{AB}=|x_2 -x_1|$$

당연히 $|x_1 -x_2|$라고 적어도 된다. 이런 작은 부분까지 늘 고려하는 습관은 수학을 공부할 때 생각보다 중요하다.

수직선 위에서의 개념을 그대로 평면으로 확장하면 된다. 이때 피타고라스 정리가 힘을 쓴다.

공식으로 정리하면 아래와 같다.

두 점 $A(x_1, y_1 ),\,\,B(x_2,y_2 )$ 사이의 거리는

$$\overline{AB}=\sqrt{(x_2 -x_1)^2 +(y_2 -y_1)^2}$$

참고: 대수적으로 거리를 구하려고 절댓값을 취하거나 거리를 제곱한다면 점의 위치를 고려할 필요가 없다.

선분의 내분점

선분 $AB$ 위의 점 $P$에 대하여

$$\overline{AP}:\overline{PB}=m:n\,\,(m>0,\,\,n>0)$$일 때, 점 $P$는 선분 $AB$를 $m:n$으로 내분한다고 하고 점 $P$를 선분 $AB$의 내분점이라고 한다.

수직선 위에 있는 점의 내분점

먼저 수직선 위의 점 $A(-3),\,B(2)$를 이은 선분 $AB$를 $2:3$으로 내분하는 점 $P(x)$를 구해보자.

대부분 교과서에는 비례식으로 구하는 과정이 나온다.

이글에선 $A(-3)$에서 $\displaystyle{\frac{2}{5}\overline{AB}}$만큼 양의 방향으로 옮긴 점이라고 생각해 보려고 한다. 

$\overline{AB}=5$이므로 $$x=-3+5\times \frac{2}{5}=-1$$

수직선 위의 두 점 $A(x_1 ),\,\,B(x_2 )$ 를 이은 선분 $AB$를 $m:n\,\,(m>0,\,\,n>0)$으로 내분하는 점 $P$의 좌표를 구해 보자.

1) $x_1<x_2$일 때,

$$x_1+\frac{m}{m+n}(x_2-x_1)=\frac{mx_1+nx_1+mx_2 -mx_1}{m+n}=\frac{nx_1+mx_2}{m+n}\tag{2}$$

2) $x_1>x_2$일 때,

$$x_2+\frac{n}{m+n}(x_1-x_2)=\frac{mx_2+nx_2+nx_1 -nx_2}{m+n}=\frac{mx_2+nx_1}{m+n}\tag{3}$$

크기와 관계없이 결과는 같다.

$$\frac{mx_2+nx_1}{m+n}\tag{4}$$

특히 $m=n$일 때, 선분 $AB$의 중점 $M$의 좌표는 다음과 같다.

$$\frac{x_1+x_2}{2}$$

두 점 좌표의 평균과 같다.

(4)를 공식으로 쓰면 편하지만 (2), (3)으로 계산해도 어렵지 않다. 오히려 내분점의 기하적 의미를 되새길 수 있어서 좋다. 한 번 시도해 보길 권장한다. 

능력이 된다면 아예 좌표평면 위에 점을 찍고 방향까지 고려하며 계산한다면 훗날 벡터를 배울 때 쉽게 접근할 수 있다.

좌표평면 위에 있는 선분의 내분점

좌표평면 위에 아래 그림과 같이 두 점 $A(x_1,y_1),\,B(x_2,y_2)$를 이은 선분 $AB$를 $m:n\,\,(m>0,\,\,n>0)$으로 내분하는 점 $P$의 좌표 $(x,y)$를 구해 보자.

$$x=x_1+\frac{m}{m+n}(x_2-x_1)$$

$$y=y_2+\frac{n}{m+n}(y_1-y_2)$$

한편 $y$좌표는 아래와 같이 구해도 결과는 같다. $$y=y_1-\frac{m}{m+n}(y_1-y_2)=\frac{my_2+ny_1}{m+n}$$

참고: 선분 $AB$를 다룰 때, 수직선 위에선 왼쪽에 있는 점을 $A$로 정해서 혼동을 피할 수 있다. 하지만 평면 위에 있는 점은 왼쪽에 있는 점을 $A$로 정해도 그림과 같이 $y$ 좌표는 점 $B$가 더 작아질 수 있다. 위와 같이 기하적으로 계산할 때는 위치를  고려해야 한다. 하지만 대수적으로 계산할 때는 위치는 고려하지 않고 그냥 공식에 넣어서 계산만 하면 된다. 다만 의미를 모르고 계산만 하는 일은 훗날을 생각할 때, 마냥 좋기만 하지는 않다.

직선의 방정식

직선이란 무엇인가? 이미지는 떠오르지만 명확하게 말로 이야기하기 어려울 것이다. 이럴 때는 먼저 고전을 살피는 것이 좋다. 유클리드는 원론에서 직선을 아래와 같이 정의했다.

A straight line is a line which lies evenly with the points on itself.
직선은 점들이 한결같이 고르게 놓인 선이다. 직선은 울퉁불퉁하지 않은 곧은 선이라는 말이다. 오늘날은 직선을 line으로 곡선은 curve로 부르고 있다. 참고: https://suhak.tistory.com/153#defs 

원론(Euclid's Elements) 1권

어떤 선이 과연 곡선인지 직선인지 어떻게 알 수 있을까? 한결같이 고르게 놓였다는 것은 어떻게 확인할 수 있을까? 완벽한 직선을 만드는 일은 쉽지 않다. 그저 우리 머리 속에 직선의 이데아가 있을 뿐이다.^^

이럴 때 좌표평면이 생각하고 직선을 방정식으로 나타내는 것이 매우 유용하다. 직선은 점이 한결같이 흔들리지 않고 같은 방향으로 움직인 자취라고 생각하면 기울기가 변하지 않는다고 표현할 수 있다. 어느 곳에서 재도 기울기가 같은 선을 직선이라고 약속하면 된다. 이때 기울기는 $y$좌표의 변화량과 $x$좌표의 변화량과의 비라고 보면 된다. 두 변화량이 정비례한다고 말할 수 있다. 비례 상수인 기울기를 $m$이라고 하면 아래와 같이 표현할 수 있다. (단, $\Delta$는 변화량)

$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\tag{5}$$

지나는 한 점과 기울기가 주어진 직선

좌표평면 위의 한 점 $A(x_1,y_1)$을 지나고 기울기가 $m$인 직선 $l$의 방정식을 구해보자.

이 직선 위에 있는 점을 $P(x,y)$라고 하자.

$$\frac{y-y_1}{x-x_1}=m\tag{6}$$

방정식 (6)은 분모가 $0$이 되는 $x=x_1$일 때를 제대로 나타낼 수 없다. 따라서 아래와 같이 고쳐 적는다.

$$y-y_1=m(x-x_1)\tag{7}$$

지나는 서로 다른 두 점이 주어진 직선

좌표평면 위의 서로 다른 두 점 $A(x_1,y_1),\,\,B(x_2,y_2)$를 지나는 직선 $l$의 방정식을 구해 보자.

먼저 $x_1\not=x_2$일 때, 기울기는 아래와 같으므로 (7)을 고치면 쉽게 해결할 수 있다.

$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

$x_1\not=x_2$일 때,
$$y-y_1= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)\tag{8}$$
$x_1=x_2$이면 기울기를 구할 수 없다. 이때 직선의 방정식은
$$x=x_1\tag{9}$$

다른 모양으로 적은 직선의 방정식 

(9)와 같이 기울기를 구할 수 없을 때는 $y=mx+n$과 같은 꼴로 정리할 수 없다. 따라서 아래와 같이 직선의 방정식을 적을 수 있다. 

$$ax+by+c=0\tag{10}$$

$y=mx+n$는 직선의 방정식의 표준형이라 하고 (10)은 표준형으로 나타낼 수 없는 경우까지 나타낼 수 있다는 뜻으로 일반형이라고 한다. 좌표평면에서 $x,y$에 대한 일차방정식은 모두 직선을 나타내는 방정식이다.

물음 아래 방정식이 나타내는 도형을 생각해 보자. $$3x-y+2+k(x+y-3)=0$$