도형의 방정식

좌표평면에 주어진 도형 위에 있는 점 $P(x,y)$의 $x,\,y$ 사이의 관계를 나타내는 방정식을 그 도형의 방정식이라고 한다.

$$f(x,y)=0\tag{1}$$

참고: (1)에서 $f(x,y)=0$는 문자 $x,\,y$가 하나 또는 둘을 포함한 방정식으로 생각하면 된다. 

(1)처럼 주어진 방정식을 만족하는 모든 점을 좌표평면에 나타낸 것을 그 방정식의 그래프라고 한다. 예를 들면 $2x +y+2=0$은 직선이고 $x^2 +2y+1=0$은 포물선이다.

원의 방정식

원은 주어진 점에서 거리가 같은 모든 점으로 이루어진 도형이다. 주어진 점은 중심, 거리는 반지름이라고 한다.

좌표평면 위의 한 점 $C(a,b)$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $r$인 원의 방정식을 구해 보자.

$$\overline{CP}=r$$

$$\sqrt{(x-a)^2 +(x-b)^2}=r$$

양변을 제곱하여 제곱근이 없는 식으로 정리하면

$$(x-a)^2 +(x-b)^2 =r^2\tag{2}$$

너무 간단해서 설명이 필요 없다. 하지만 식을 조금 더 생각해 보자.

원을 결정하기 위해선 중심과 반지름이 주어져 있어야 한다. 방정식만 놓고 생각하면 결국 $a,b,r$이 주어져야 한다. 이것은 원은 한 직선 위에 있지 않은 세 점에 의해 결정된다는 사실을 알려 준다.

(2)를 전개하여 정리하면 아래와 같은 꼴로 정리할 수 있다. (2)는 표준형, 아래는 일반형으로 부른다.

$$x^2 +y^2 +Ax+By+C=0\tag{3}$$

일반형을 표준형으로 정리하여 중심과 반지름을 구할 수 있어야 한다.

원과 직선의 위치 관계

원과 직선이 각각 이차방정식과 일차방정식으로 표현되므로 좌표평면에서 원과 직선의 위치관계는 두 방정식을 연립하여 구한 실근의 개수로 파악할 수 있다. 따라서 원과 직선의 교점의 개수는 판별식으로 쉽게 알 수 있다. 그러나 원과 직선은 매우 특별한 도형이므로 원의 중심에서 직선에 이르는 거리와 반지름 사이의 관계로 파악하는 것이 훨씬 간단하다.

 

위 그림과 같이 원의 중심이 원점일 때는 별 차이가 없지만 중심이 원점이 아닐 때는 판별식을 이용하기 보다는 중심과 직선 사이의 거리를 이용하는 편이 훨씬 간편하다.

접선의 방정식을 구할 때도 마찬가지로 두 가지 방법이 있다.

기울기를 알 때, 원의 접선의 방정식

원 $x^2 +y^2 =r^2$에 접하고 기울기가 $m$인 접선의 방정식

접선의 방정식을 $$y=mx+n\tag{3)$$이라고 하자.

(3)을 원의 방정식에 대입하여 정리하자.

$$x^2 +(mx+n)^2=r^2$$

$$(m^2 +1)x^2 +2mnx+n^2-r^2=0$$

이때 판별식이 $0$이 되도록하는 $n$을 구하면 된다.

$$\frac{D}{4}=(mn)^2-(m^2+1)(n^2 -r^2)=(m^2+1)r^2 -n^2=0$$

$$n=\pm r\sqrt{m^2+1}$$

따라서 구하는 접선의 방정식은

$$y=mx\pm r\sqrt{m^2 +1}\tag{4}$$

중심 $(0,0)$에서 직선 (3) 사이의 거리 $d$는 아래와 같다.

$$d=\frac{|n|}{\sqrt{m^2+1}}=r$$

따라서 (4)와 같은 접선의 방정식을 훨씬 쉽게 구할 수 있다. 따라서 (4)를 공식으로 암기할 필요는 없다. 오히려 어설프게 외우면 계산 실수만 는다.

접점을 알 때 접선의 방정식

원 $x^2 +y^2 =r^2$ 위의 점 $P(x_1,y_1)$을 지나는 접선의 방정식

1) $P$과 좌표축 위의 점일 때는 매우 사소한 문제다.

$x=\pm r$ 또는 $y=\pm r$

2) 점 $P$가 좌표축 위의 점이 아닐 때 ($x_1 y_1\not = 0$)

접선은 중심과 접점을 잇는 직선과 수직이다.

직선 $OP$의 기울기는 $\displaystyle{\frac{y_1}{x_1}}$이므로 접선의 기울기는 $\displaystyle{-\frac{x_1}{y_1}}$이다. 따라서 접선의 방정식은

$$y-y_1=- \frac{x_1}{y_1}(x-x_1)$$

보기 좋게 정리하면

$$x_1x+y_1y=x_1^2 +y_1^2$$

점 $P(x_1,y_1)$ 원 위에 있으므로 $x_1^2 +y_1^2 =r^2$이다.

아래 식은 1)의 경우도 포함하고 있다.

$$x_1x+y_1y=r^2\tag{5}$$

원 밖에 있는 한 점을 지나는 접선의 방정식

위에 있는 방법을 적절히 활용하면 원 밖에 있는 한 점을 지나는 접선의 방정식을 구할 수 있다. 중학교에서 원 밖의 한 점에서 원에 그은 접선은 항상 2개임을 배웠다. 특별한 경우까지 놓치지 않으려면 항상 문제 상황을 먼저 그래프를 그려서 생각하는 것이 좋다.

문제 점 $P(4,2)$에서 원 $x^2 +y^2 =4$에 그은 접선의 방정식을 구하시오.

상황을 그래프로 나타내면 아래와 같다.

접선 $y=2$는 곧바로 구할 수 있다.

풀이 1) 기울기를 $m$으로 놓고 구하는 방법

점 $P(4,2)$를 지나고 기울기 $m$인 직선의 방정식은

$$y-2=m(x-4)$$

일반형으로 정리하면 $$mx-y-4m+2=0$$

중심 $(0,0)$에서 위 직선 사이의 거리는 반지름과 같다.

$$\frac{|-4m+2|}{\sqrt{m^2+1}}=2$$

양변을 제곱하여 정리하면

$$3m^2 -4m=0$$

그러므로 접선의 방정식은

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{10}{3}\,\, \text{또는} \,\,y=2$$

 

2) 접점을 $(x_1,y_1)$으로 놓고 구하는 방법

접점이 $T(x_1,y_1)$라고 하자. 점 $T$가 원 위에 있는 점이므로

$$x_1^2 +y_1^2 =4\tag{6}$$

접점  $T(x_1,y_1)$이 주어진 직선의 방정식은

$$x_1x+y_1y=4$$

위 직선이 $P(4,2)$를 지나므로 (5)에서

$$4x_1+2y_1=4$$

$y_1=-2x_1+2$를 (6)에 대입하면

$$x_1^2+(-2x_1+2)^2 =4$$

정리하면

$$5x_1^2-8x_1=0$$

접점은

$$\bigg(\frac{8}{5},-\frac{6}{5}\bigg)\,\,\text{또는}\,\,(0,2)$$

그러므로 접선의 방정식은

$$4x-3y-10=0\,\, \text{또는} \,\,y-2=0$$

당연히 결과는 같다. 어떤 방법을 쓸까는 취향에 따르면 된다.