2025년 6월 고1 모의고사 수학 문제
수학이야기/공통수학 2025. 6. 24. 14:47벌써 1학기가 끝나가고 있다. 3월엔 중학교 문제가 같이 나오니 조금은 만만해 보이던 모의고사 문제가 6월엔 결코 만만하지 않을 것이다. 어쩌면 고등학교 진학하고 처음으로 안 풀리는 어려운 문제를 만난 친구도 많을 듯하다. 중학교에서 나름대로 수학을 잘한다고 자부했던 친구들 가운데 실망한 친구도 있을 수 있다. 하지만 너무 낙담하진 말자. 열심히 하면 금방 적응할 수 있을 것이다. 수업 시간에 모의고사 문제를 설명하다가 같은 내용을 가지고 문제를 어렵게 만드는 기술도 한이 없다는 생각을 자주 한다.유명한 격언이 있다. 수학에는 왕만을 위한 길이 따로 없다. 그저 한 문제 한 문제 열심히 풀어 가다 보면 어느새 실력이 늘어 있을 것이다. 한두 문제 풀어놓으려 한다.
이런 문제가 어려운 까닭은 문자로 주어진 계수가 많기 때문이다. 교과서에선 숫자로 된 계수 또는 간단한 문자 하나로 된 계수만 다루다가 이런 문제를 만나면 문제를 제대로 파악하지도 못한다. 문자로 된 계수가 많을 때 유용한 방법은 계산하기 간단한 숫자로 바꿔 놓고 생각해 보는 것이다.
$-1,0,1$은 대표적인 숫자다. 간단한 숫자를 대입하는 방법을 귀납적이라고 부른다. 당연히 수학은 연역적인 사고를 중시하지만 귀납적인 사고도 매우 유용하다. 이 문제가 바로 귀납적으로 사고하는 방법을 보여 주고 있다.
참고: 이차부등식의 해는 포물선과 $x$축을 그려서 생각하자.
ㄱ. 주어진 부등식에 $a=-1$을 대입해 보자.
첫 번째 부등식은 $-x^2+(-1+b)x+b<0$인데 정리하면 $x^2 +(1-b)x-b>0$이다. 따라서
$$(x+1)(x-b)>0\tag{1}$$
$-1 \leq b$이면 $x<-1$ 또는 $b<x$ 이고 $x<b$ 또는 $-1<x$이다.
이처럼 문자로 된 계수는 그때 그때 범위를 따로 정해주어야 한다.
두 번째 부등식을 보자. $(-1+b)x^2 +bx-1<0$도 $-1+b$의 값에 따라 해가 달라진다.
조금 더 따져보면 두 번째 부등식이 이차부등식이라면 연립부등식이 $x<p$인 해를 가질 수 없음을 알 수 있다. 이차부등식 두 개가 연립되었을 때 $x<p$인 꼴의 해를 가질 수 없으므로 적어도 하나는 일차인 부등식임을 알 수 있다.
$-1+b=0$이어야 하므로 $b=1$이다. 따라서 두 번째 부등식은 $x-1<0$이므로 첫 번째 부등식의 해와 공통된 해는 $x<-1$이다.
ㄴ. 이제 자연스럽게 $a=0$ 또는 $a+b=0$이라고 생각할 수 있다.
1) $a=0$ 일 때, $bx+b+1<0$과 $bx^2 +(b+1)x=x(bx+b+1)<0$이다.
첫 번째 부등식의 해가 $x<p$인 꼴이 되려면 $b>0$이어야 한다. 이때
$$x<\frac{-b-1}{b}$$
$$ \frac{-b-1}{b}<x<0$$
이므로 두 부등식을 만족하는 해는 없다.
이때도 생각하기 어려우면 $b=-1$을 대입하여 생각해 보자.
$-x<0$이고 $-x^2<0$이므로 해가 없다.
$b=1$이면 $x+2<0$와 $x(x+2)<0$에서 해가 없다.
따라서 $a=0$일 수 없다.
2) $a+b=0$일 때, $ax^2 +1<0$과 $x+a<0$이다.
$a>0$이면 첫 번째 부등식은 해가 없으므로 $a>0$이다.
따라서 $b>0$이다.
ㄷ. 이제 $ax^2 +1<0$에서 $a<0$으로 양변을 나누면
$$x^2 +\frac{1}{a}>0\tag{2}$$
$$x<-\sqrt{-\frac{1}{a}}\,\,\text{또는}\,\, \sqrt{-\frac{1}{a}} <x$$
연립부등식의 해가 $x<p$인 꼴이 되려면
$$-a \leq \sqrt{-\frac{1}{a}}$$
이다. $0<-a$이므로 양변을 제곱해도 부등호는 바뀌지 않는다.
$$a^2 \leq -\frac{1}{a}$$
하지만 양변에 $a<0$를 곱할 때는 부등호 방향을 바꾸어야 한다.
$$a^3 \geq -1$$
