자연수 거듭제곱의 합

수학 이야기 2013. 10. 15. 09:27
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먼저 자연수의 합은 등차수열 합으로 간단히 적을 수 있다. 이를 그림으로 나타내면 아래와 같다.

$$\sum _{k=1} ^{n} k =1 +2 +3 + \cdots +n = \frac{1}{2}n(n+1)$$

$\bullet$                                      $\overbrace{\bullet \bullet \bullet \bullet \cdots \cdots \bullet}^{n}$

$\bullet \bullet$                                          $\overbrace{\bullet \bullet \bullet \bullet \cdots \bullet}^{n-1}$

$\bullet \bullet \bullet$                     $+$                 $\overbrace{\bullet \bullet \bullet \cdots \bullet}^{n-2}$
  
  $\vdots$                                              $\vdots$ 

$\underbrace{\bullet \bullet \bullet \bullet \cdots \bullet}_{n-1}$                                       $\bullet \bullet$

$\underbrace{\bullet \bullet \bullet \bullet \cdots \cdots \bullet}_{n}$                                      $\bullet$
$$\sum_{k=1}^{n}k +\sum_{k=1}^{n}k=n(n+1)$$

자연수 거듭제곱을 더한 공식을 증명하는 방법은 여러 가지가 있다. 여기서는 보통 교과서와 있는 항등식을 이용한 방법과 다른 방식으로 증명하고자 한다.

 $$\sum _{k=1} ^{n} k^2 =1^2 +2^2 +3^2 + \cdots +n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$

증명) 공식을 뜯어보면 자연수의 합과 관련이 있다는 걸 알 수 있다.

먼저 $n=4$일 때, 자연수 제곱의 합을 다르게 적어보면 아래와 같다.

$$ \sum_{k=1}^{4}k^2 =1^2 +2^2 +3^2 +4^2 =1+(2+2)+(3+3+3)+(4+4+4+4)$$


이를 아래와 같이 적어보자.

$$\begin{split}&1&\quad\quad\quad\quad&4&\quad\quad\quad\quad&4&\quad\quad\quad\quad&9&\quad\\&2&2\quad\quad&3&4\quad\quad&4&3&9&9\\&3&33\quad+\quad&2&34\quad+\quad&4&32\quad=\quad&9&99\\&4&444\quad&1&234\quad&4&321\quad&9&999\end{split}$$

삼각형 모양에서 같은 자리에 있는 수를 더한 값이 모두 같음을 알 수 있다. 따라서

$$\sum_{k=1}^{4}k^2 +\sum_{k=1}^{4}k^2 +\sum_{k=1}^{4}k^2 =9(1+2+3+4)$$

이를 일반화 해보면 아래와 같다.

$$\sum_{k=1}^{n}k^2 +\sum_{k=1}^{n}k^2 +\sum_{k=1}^{n}k^2 =(2n+1)(1+2+3+4+\cdots +n)$$

$$3\sum_{k=1}^{n}k^2 =(2n+1)\sum_{k=1}^{n}k$$

$$3\sum_{k=1}^{n}k^2 =\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)$$

$$\therefore \sum_{k=1}^{n}k^2 =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$

증명끝.

아래 그림을 참고하여 자연수 세제곱의 합을 알아보자.

$$\sum_{k=1}^{4} k^3 =1^3 +2^3 +3^3 +4^3 \\=1+(2+4+2)+(3+6+9+6+3)+(4+8+12+16+12+8+4)$$


그림과 같이 더하는 순서를 다시 배열하면 오른쪽에 있는 식을 모두 더한 것과 같다.

$$(1+2+3+4)+2(1+2+3+4)+3(1+2+3+4)+4(1+2+3+4)\\=(1+2+3+4)(1+2+3+4)$$

$$\therefore \sum_{k=1}^{4} k^3 =(1+2+3+4)^2 =\bigg( \sum_{k=1}^{4} k \bigg)^2$$이다.

자연수 세제곱의 합은 이를 일반화하면 된다.

$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \bigg( \sum_{k=1}^{n} k \bigg)^2 = \bigg( \frac{1}{2} n(n+1) \bigg)^2$$


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  1. yjb221 2018.09.13 20:42 고치기 댓글

    정말 잘 봤습니다.

  2. 1 2019.03.24 23:58 고치기 댓글

    거듭제곱의 합에서 정사각형그림에서 숫자배열 1 4 4로 가는 부분이 이해가 안갑니다

    • 수학이야기 2019.03.25 11:28 신고 고치기

      배열을 바꿔서 적은 것입니다.
      삼각형 모양 안에 있는 숫자는 세 모둠이 모두 같은 수로 이루어져 있지요.
      같은 자리에 있는 수를 더하면 모두 같은 수가 나옵니다.^^

  3. ㅇㅇ 2019.10.22 17:04 고치기 댓글

    본인이 발상하신 거면 진짜 천재적이네요...
    가우스가 고안해냈다는 n(n+1)은 너무 많이 들어서 질리는데
    삼각형 부분에서 전율했습니다

    • 수학이야기 2019.10.22 17:31 신고 고치기

      아쉽게도 제가 한 것은 아닙니다.^^
      수학을 오래 가르치다 보니 잡다한 책을 읽어서 알게 되었습니다.
      저도 제곱수의 합이 가장 맘에 듭니다.

  4. 도성진 2020.08.12 03:45 고치기 댓글

    안녕하세요
    혹시 세제곱근의 합을 증명하실 떄 사용하신 정사각형 그림을 학교 동아리시간에 써두될까요? 대회같은것이나 성적에 직결되는 활동은 아니고
    학교 수학동아리에서 자유 주제탐구 활동에 보고서를 작성할 떄 사용하고 싶습니다
    출처는 남겨놓도록 하겠습니다
    답장 기다릴게요

  5. 이유찬 2021.05.27 12:12 고치기 댓글

    혹시 어느 책에서 참고하셨는지 알 수 있을까요??

    • 수학이야기 2021.05.27 15:19 신고 고치기

      흔하게 나오는 것이라 어느 책에서 보았는지 분명하지 않습니다. 아마도 Proofs without words가 아닐까 합니다.

  6. ㅇㅅㅇ 2021.11.28 13:53 고치기 댓글

    자연수 제곱의 합을 증명할 때 궁금한 점이 있어 질문 남깁니다
    첫째로 1 22 333 4444를 9 99 999 9999를 만들기 위해 의도적으로 재배열만 하신건지요
    두번째로 10X10 스퀘어는 어째서 등장한건지 궁금하네요

    • 수학이야기 2021.11.29 10:34 신고 고치기

      예, 의도적으로 재배열한 것이 맞습니다. 그리고 거듭제곱을 넓이로 생각하는 것을 보여주기 위해서 정사각형 모양의 그림을 넣었습니다.



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