평면 채우기(tessellation)

수학이야기/기하, 벡터 2014.03.18 20:02

아래와 같이 평면이나 공간을 도형으로 빈틈없이 채우는 것을 테셀레이션(tessellation) 또는 타일링으로 부른다.

참고 : 그림 가져온 곳 테셀레이션(http://www.mathsisfun.com/geometry/tessellation.html)

Canon EOS 300D DIGITAL | 1/500sec | F/8.0 | 30.0mm | ISO-100 | 2005:11:29 12:36:41내소사 꽃살문

테셀레이션은 기본도형을 적당히 평행이동, 회전이동, 대칭이동하여 단위개체를 만들고 이를 나열하여 완성한다. 여러 가지 종류가 있는데 그 가운데 몇 가지를 알아보자.

  1. 한 가지 정다각형으로 만드는 테셀레이션(regular tessllation)
  2. 한 꼭짓점에 모이는 정다각형의 내각의 합은 $360^o$이어야 하므로 종류가 많지 않다. 정삼각형 6개, 정사각형 4개, 정육각형 3개가 모이는 테셀레이션이 있다.

  3. 여러 가지 정다각형으로 만드는 테셀레이션
  4. 두 가지 이상의 정다각형에 의하여 동일한 순서로 테셀레이션하는 것을 아르키메데스 테셀레이션(Archimedian tessllation) 또는 준정다각형 테셀레이션(semiregular tessllation)으로 부른다. 한 꼭짓점에 4각형, 6각형, 12각형이 모인 것을 기호로 (4,6,12)로 적는다. 아르키메데스 테셀레이션은 다음 조건을 만족한다.

    • 정삼각형의 한 내각은 $60^ㅇ$이므로 한 꼭짓점에는 6개이하의 정다각형만 올 수 있다.
    • 한 꼭짓점을 둘 이상이 둘러싸야 한다.

    $(a,b,c)$의 꼴인 경우 식을 세워보자.

    $3\leq a \leq b \leq c$라고 하자.

    $\displaystyle{\frac{1}{3} \geq \frac{1}{a} \geq \frac{1}{b} \geq \frac{1}{c} \geq 0}$이고,

    정$a$각형의 한 내각의 크기는 $\displaystyle{180^o \times \frac{(a-2)}{a}=180^o \times \bigg(1-\frac{2}{a} \bigg)}$이므로

    $\displaystyle{\frac{1}{2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \frac{3}{a} \quad \therefore 3\leq a \leq 6}$

    $a=3,4,5,6$일 때, 부정방정식 $2(bc+ca+ab)=abc$를 풀면 해를 구할 수 있다.

    아르키메데스 테셀레이션은 아래 그림과 같이 여덟 가지가 있다.

    (3,12,12) (4,6,12) (4,8,8)


    (3,4,6,4) (3,6,3,6)


    ( 3,3,3,3,6) (3,3,3,4,4) (3,3,4,3,4)

    참고 : http://mathworld.wolfram.com/SemiregularTessellation.html

  5. 듀얼 테셀레이션

cairo tessellation

    참고 : http://mathworld.wolfram.com/DualTessellation.html

    듀얼 테셀레이션은 어떤 테셀레이션에서 다각형의 중심을 꼭짓점으로 하여 이웃한 다각형의 중심을 이어서 만든다. 이집트 카이로에 흔하다는 카이로 테셀레이션은 아르키메데스 테셀레이션(3,3,4,3,4)의 듀얼 테셀레이션이다.


이 밖에 오각형 테셀레이션은 http://www.scipress.org/journals/forma/pdf/1501/15010075.pdf를 참고.

에셔의 작품을 감상해 보시길.....