평면 채우기(tessellation)
수학이야기/기하벡터 2014. 3. 18. 20:02아래와 같이 평면이나 공간을 도형으로 빈틈없이 채우는 것을 테셀레이션(tessellation) 또는 타일링으로 부른다.
참고 : 그림 가져온 곳 테셀레이션(http://www.mathsisfun.com/geometry/tessellation.html)
테셀레이션은 기본도형을 적당히 평행이동, 회전이동, 대칭이동하여 단위개체를 만들고 이를 나열하여 완성한다. 여러 가지 종류가 있는데 그 가운데 몇 가지를 알아보자.
한 꼭짓점에 모이는 정다각형의 내각의 합은 $360^o$이어야 하므로 종류가 많지 않다. 정삼각형 6개, 정사각형 4개, 정육각형 3개가 모이는 테셀레이션이 있다.
두 가지 이상의 정다각형에 의하여 동일한 순서로 테셀레이션하는 것을 아르키메데스 테셀레이션(Archimedian tessllation) 또는 준정다각형 테셀레이션(semiregular tessllation)으로 부른다. 한 꼭짓점에 4각형, 6각형, 12각형이 모인 것을 기호로 (4,6,12)로 적는다. 아르키메데스 테셀레이션은 다음 조건을 만족한다.
$(a,b,c)$의 꼴인 경우 식을 세워보자.
$3\leq a \leq b \leq c$라고 하자.
$\displaystyle{\frac{1}{3} \geq \frac{1}{a} \geq \frac{1}{b} \geq \frac{1}{c} \geq 0}$이고,
정$a$각형의 한 내각의 크기는 $\displaystyle{180^o \times \frac{(a-2)}{a}=180^o \times \bigg(1-\frac{2}{a} \bigg)}$이다.
한 점에 모이는 내각을 모두 더하면 $360^o$이라야 한다.
$$180^o\bigg(3-\frac{2}{a}-\frac{2}{b}-\frac{2}{c}\bigg)=360^o$$
$\displaystyle{\frac{1}{2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \frac{3}{a} \quad \therefore 3\leq a \leq 6}$
$a=3,4,5,6$일 때, 부정방정식 $2(bc+ca+ab)=abc$를 풀면 해를 구할 수 있다.
아르키메데스 테셀레이션은 아래 그림과 같이 여덟 가지가 있다.
참고 : http://mathworld.wolfram.com/SemiregularTessellation.html
참고 : http://mathworld.wolfram.com/DualTessellation.html
듀얼 테셀레이션은 어떤 테셀레이션에서 다각형의 중심을 꼭짓점으로 하여 이웃한 다각형의 중심을 이어서 만든다. 이집트 카이로에 흔하다는 카이로 테셀레이션은 아르키메데스 테셀레이션(3,3,4,3,4)의 듀얼 테셀레이션이다.
이 밖에 오각형 테셀레이션은 http://www.scipress.org/journals/forma/pdf/1501/15010075.pdf를 참고.
에셔의 작품을 감상해 보시길.....
https://www.mathsisfun.com/geometry/tessellation-artist.html
https://horizon.kias.re.kr/24400/