오일러 정리

구와 연결 상태가 같은 다면체에서는 꼭짓점 개수(Vertics)-모서리 개수(Edge)+면(Face)의 개수=2라는 오일러 정리가 성립한다.

$$v-e+f=2$$

이를 증명하기 위해 먼저 공간도형을 모서리가 서로 겹치지 않도록 평면 위에 점과 모서리의 연결 상태가 같게 그린 평면그래프를 생각한다.

 

 

일단, 임의의 다면체에서 한 면을 없애자. 물론 꼭지점이나 모서리는 그대로 두고 한 면만 없앤 다면체 (이제 더이상 다면체가 아닐 테지만..) 를 생각하자. 그렇다면 이 다면체를 평면 위에 펼칠 수 있다. 이때, 면이 하나 줄었으니 아래와 같이 된다.

$$v - e + f' = 1$$

여기서 평면 위에 펼친다는 것은 전개도를 그리는 것이 아니라, 각 점들의 연결 상태를 그대로 보존하여 평면 위에 펼친다는 것이다. 예를 들어 정육면체는 아래처럼 평면에 펼칠 수 있다.

이제, 우리가 평면 위에 펼친 도형은 다면체가 아니라 평면 도형(이를 그래프, 평면그래프(plane Graph)로 부르기로 하자)이 된다. 따라서, 우리가 모든 평면 그래프에 대해 $v - e + f = 1$을 증명할 수 있다면, 다면체에 대해서 $v - e + f = 2 $은 저절로 증명된다.

우리는 평면 그래프에 대해 $v - e + f = 1 $임을 보이기 위해, 먼저 모든 면을 삼각형으로 쪼개자. 이는, 각 면의 한 꼭짓점에서 이웃한 두 꼭짓점을 제외한 나머지 꼭짓점들을 선분으로 이으면 된다. 이 때, 선분으로 하나를 이을 때마다 $e$ 와 $f $가 동시에 $1$씩 늘어나므로 $ v - e + f $의 값은 변함이 없다.

위 작업을 마치고 나면 아래와 같이 된다.

 

이제, 다음과 같은 일련의 작업을 통해 $v - e + f = 1$ 임을 보일 수 있다.

1. 오직 한 변이 외부와 맞닿아 있는 삼각형을 제거한다. 이 때, 꼭지점의 개수는 그대로지만 변과 면의 개수는 하나씩 줄어 $ v - e + f $값은 변함이 없다. 위 평면 그래프에 대해 실행하였다면 아래 그림의 점선과 같은 부분들이 지워진다.

 

2. 두 변이 외부와 맞닿아 있는 삼각형을 제거한다. 이때, 꼭짓점은 하나가 줄고 변의 개수는 둘, 면의 개수는 하나씩 줄어든다. 마찬가지로 $v - e + f $의 값은 변함이 없다. 위 평면 그래프에 대해 실행하였다면 아래 그림의 점선과 같은 부분들이 지워진다.

 

결국 위 두 과정을 모두 마치게 된다면 하나의 삼각형만 남게 된다. 이때 $v - e + f $의 값은 변함이 없었으므로 남은 삼각형의 $v - e + f $의 값과 원래 평면 그래프의 $v - e + f $ 값이 같을 것이다. 그런데 삼각형은 $v = 3 , e = 3, f = 1 $이므로 $v - e + f = 1$ 이다. 따라서, 원래 평면 그래프의 경우도 $ v - e + f = 1$을 만족한다.

앞에 설명한대로 $v - e + f = 1 $을 보였으므로, 다면체에 대해 $v - e + f = 2 $인 사실이 증명된다.

$\bigstar$ 참고 $\bigstar$

정다면체는 다섯뿐이다.

오일러 정리에 대한 증명 방법 20가지 : http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/

증명 옮겨온 곳 : http://kevin0960.tistory.com/164