좌표평면과 좌표공간: 점의 위치를 나타내는 가장 우아한 약속

데카르트가 천장을 기어가는 파리를 눈여겨보다가 좌표를 떠올렸다는 이야기가 있다. 중학교 1학년 때 처음 마주하는 '좌표평면'은 고등학교에 올라가 기하 교과에서 '좌표공간'으로 자연스럽게 넓어진다.

쓰임새나 생김새 자체는 싱거울 만큼 쉽고 단순해 보일지 모른다. 하지만 좌표를 길잡이 삼아 세상을 읽어 내는 것과 그렇지 않은 것의 차이는, 그야말로 하늘과 땅 차이다.

평면좌표

평면 위에 있는 점을 읽는 법도 2가지가 있다. 하나는 이글에서 정리하려는 데카르트 좌표이고 다른 하나는 극좌표이다. 아래 그림에서 왼쪽이 우리에게 익숙한 데카르트 좌표이다. 참고로 다른 좌표계로는 극좌표계, 원통좌표계, 구면좌표계 등이 있다.

 

중학교에서 익혔듯이, 원점에서 수직으로 만나는 두 수직선을 이용해 평면 위의 점을 두 수의 순서쌍으로 나타낸다. 이때 두 수를 각각 그 점의 $x$좌표와 $y$좌표라고 한다. 그림 속 점을 $P(3, 4)$로 쓰는 것은, 원점에서 출발해 $x$축 양의 방향으로 $3$, $y$축 양의 방향으로 $4$만큼 이동한 위치를 뜻한다. 이때 좌표축 끝의 화살촉은 양의 방향을 가리키는 약속이므로, 축을 그릴 때는 양수 쪽 끝에만 화살촉을 하나 붙여야 한다.

이제 우리는 평면 위에서 움직이는 파리의 운동을 쉽게 파악하여 나타낼 수 있게 되었다.

공통수학1에 등장하는 직선의 방정식을 공부하면 평면벡터를 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

직선의 방정식

 

 

공간좌표

허공을 날아다니는 나비의 위치는 어떻게 나타낼 수 있을까? 평면을 넘어선 공간 속 점을 표현하려면, 아래 그림과 같이 축이 하나 더 필요하다. 이때 새로 세우는 $z$축의 양의 방향은 어느 쪽으로 두어도 상관은 없다. 하지만 수학에선 보통 $x$축에서 $y$축으로 회전할 때 오른손 나사가 전진하는 방향을 $z$축의 양의 방향으로 정한다. 이를 이른바 '오른손 좌표계'라고 부른다.

이제 점의 자리를 나타내려면 순서쌍에 세 개의 수가 필요하다. 평면을 2차원, 공간을 3차원이라 부르는 까닭이 바로 여기에 있다. 차원이라는 개념을 수학적으로 깊이 파고들면 꽤나 까다롭지만, 일상적으로는 ‘한 점의 위치를 나타내는 데 필요한 수의 개수’ 정도로 이해해도 충분하다.

한 점에서 만나는 두 직선은 오직 하나의 평면을 결정한다. 따라서 서로 만나는 세 좌표축은 자연스럽게 세 개의 기준 평면을 만드는데, 이를 각각 $xy$평면, $yz$평면, $zx$평면이라고 부른다.

이처럼 다루는 차원이 달라지면 익숙했던 방정식도 새로운 눈으로 바라보아야 한다. 2차원 평면에서 방정식 $x=0$은 $y$축이라는 ‘선’을 나타냈지만, 3차원 공간에서는 $yz$평면이라는 ‘면’ 전체를 뜻하게 된다는 점을 눈여겨보아야 한다.

2차원 평면에 평면을 그리는 일은 단순하지만, 3차원 공간을 2차원 평면에 나타내기는 쉽지 않다. 이를 시각화하는 방법은 여러 가지가 있지만, 대체로 $yz$평면을 기존의 좌표평면처럼 두고 $x$축을 앞으로 튀어나오듯 비스듬하게 그려 넣는 방식을 널리 사용한다.

이로써 3차원 공간은 아래 그림과 같이 직육면체의 모서리와 면을 바탕으로 하는 정교한 좌표계로 구조화된다.

원점에서 점 $E$에 이르는 과정은 각 좌표축 방향에 따른 세 번의 독립적인 이동으로 분해할 수 있다. 즉, 원점에서 출발해 $x$축 양의 방향으로 $2$, $y$축 양의 방향으로 $4$, $z$축 양의 방향으로 $5$만큼 이동한 자리로 해석하여 $E(2, 4, 5)$로 표기한다. 이는 훗날 공간벡터의 위치벡터와 성분을 다룰 때 핵심적인 바탕이 되는 중요한 발상이다.

선분 $OE$의 길이는 아래와 같이 구할 수 있다.

$$\begin{split}\overline{OE}^2&=\overline{OB}^2 +\overline{BE}^2\\&=\overline{OA}^2+\overline{OC}^2+\overline{OG}^2\\&=2^2 +4^2 +5^2=45\end{split}$$

$$\overline{OE}=3\sqrt{5}$$

두 점 사이의 거리

 

좌표공간에서 두 점 사이의 거리 역시 피타고라스 정리를 통해 자연스럽게 유도된다.

거리 공식의 본질을 직관적으로 이해하는 좋은 방법은 한 점을 원점으로 만드는 평행이동을 떠올리는 것이다. 두 점 $A(x_1, y_1, z_1)$과 $B(x_2, y_2, z_2)$가 있을 때, 점 $B$가 원점이 되도록 공간 전체를 평행이동하면 두 점은 각각 다음과 같이 바뀐다.

$$A'(x_1 - x_2, \; y_1 - y_2, \; z_1 - z_2), \quad B'(0, 0, 0)$$

평행이동을 하더라도 두 점 사이의 거리는 변하지 않으므로, 원점과 점 $A'$ 사이의 거리를 구하는 것과 같다.

$$\overline{AB} = \overline{A'B'} = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2} \tag{1}$$

물론 두 점을 $xy$평면에 정사영시킨 두 점 $A''(x_1, y_1, 0)$과 $B''(x_2, y_2, 0)$ 사이의 거리인 평면 거리를 먼저 구한 뒤, 높이차 $\vert{}z_1 - z_2\vert{}$와 함께 직각삼각형을 만들어 유도해도 같은 결론에 도달한다.

공간좌표에서 선분의 내분점과 외분점: 차원을 넘나드는 닮음의 확장

평면 위에서 두 점 사이의 거리를 구하던 피타고라스 정리가 $z$축이라는 축 하나를 더해 공간으로 자연스럽게 확장되었듯이, 두 점을 잇는 선분을 특정 비율로 나누는 내분점(Internal Division Point)과 외분점(External Division Point) 역시 같은 원리로 평면에서 공간으로 확장된다.

3차원이라는 낯선 공간 속에 비스듬히 떠 있는 선분을 마주하면 계산이 복잡해 보일 수 있지만, 기하학의 가장 강력한 도구인 '평행선과 닮음비'를 활용하면 각 좌표축 방향으로 문제를 쪼개어 단순하게 해결할 수 있다.

기본 아이디어: 각 축으로의 정사영과 닮음

좌표공간에 서로 다른 두 점 $A(x_1, y_1, z_1)$과 $B(x_2, y_2, z_2)$가 놓여 있다고 가정해 봅시다. 그리고 선분 $AB$를 $m : n$ ($m > 0, n > 0$)으로 나누는 점을 찾아보자.

선분 $AB$ 위에 놓인 점 $P$가 선분을 $m : n$으로 내분한다는 것은 기하학적으로 다음을 뜻한다.

$$\overline{AP} : \overline{PB} = m : n$$

이 선분을 세 좌표축 중 하나인 $x$축에 수직인 평면들(즉, $yz$평면에 평행한 평면들) 위로 투영하거나, 각 점에서 $x$축으로 수선의 발을 내리는 상황을 떠올려 보자.

• 점 $A$, $P$, $B$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 각각 $A_x(x_1, 0, 0)$, $P_x(x, 0, 0)$, $B_x(x_2, 0, 0)$이라 두면, 평행선 사이의 선분 길이의 비 정리에 의해 다음 닮음 관계가 성립한다.
• $$\overline{A_xP_x} : \overline{P_xB_x} = \overline{AP} : \overline{PB} = m : n$$

결국 3차원 공간 속 선분의 내분 문제는 $x$축, $y$축, $z$축이라는 세 개의 독립된 1차원 수직선 위의 내분 문제 세 개로 완벽하게 분해된다.

1학년 공통수학에서 배운 문제로 바뀌는 것이다. 복습해 보자.

 

내분점 $P$의 좌표 유도

점 $P$의 좌표를 $(x, y, z)$라고 두고, 먼저 $x$좌표를 구해보자.

$x_1 < x_2$라고 가정하면, $x$축 위에서 점 $P_x$는 $A_x$와 $B_x$ 사이에 위치하므로:

$$\overline{A_xP_x} = x - x_1, \quad \overline{P_xB_x} = x_2 - x$$

비례식을 세우면 다음과 같다.

$$(x - x_1) : (x_2 - x) = m : n$$

$$m(x_2 - x) = n(x - x_1)$$

$$mx_2 - mx = nx - nx_1$$

$$(m + n)x = mx_2 + nx_1$$

따라서 내분점의 $x$좌표는 다음과 같이 구해진다.

$$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}\tag{2}$$

 

비례식이 귀찮다면 다음과 같이 구할 수도 있다.

실제로 문자가 아닌 숫자일 때는 이 방법으로 훨씬 빠르게 계산할 수 있다.

 

$$\overline{A_xB_x} = x_2 - x_1$$

$$x=x_1+\frac{m}{m+n}\times(x_2-x_1)\tag{3}$$

 

왜 숫자로 계산할 때 훨씬 빠른가?

공식 $x = \dfrac{mx_2 + nx_1}{m+n}$은 대수적으로 깔끔하지만, 숫자가 복잡해지면 큰 수의 곱셈과 나눗셈을 해야 한다. 반면 제시한 방식을 쓰면 암산이나 간단한 덧셈으로 해결된다.

1. 전체 거리 구하기: 두 점 사이의 거리를 구한다 ($x_2 - x_1$).
2. 이동할 비율 곱하기: 전체 거리에 $\dfrac{m}{m+n}$을 곱해 이동할 실제 길이를 구한다.
3. 시작점에 더하기: 시작 좌표 $x_1$에 이동 거리를 더한다.

실제 숫자 비교 예시

문제: 수직선 위 두 점 $A(13)$, $B(73)$을 $2:3$으로 내분하는 점 $P(x)$를 구하시오.

• 기존 공식 적용:두 자리 수 곱셈 2번과 세 자리 수 나눗셈이 필요하다.
• $$x = \frac{2 \times 73 + 3 \times 13}{2 + 3} = \frac{146 + 39}{5} = \frac{185}{5} = 37$$
• 제시하신 방식 적용:
  1. 전체 길이: $73 - 13 = 60$
  2. $A$에서 이동할 거리: $60 \times \dfrac{2}{2+3} = 60 \times \dfrac{2}{5} = 24$
  3. 좌표: $13 + 24 = 37$

약분이 먼저 이루어지기 때문에 곱셈 단위가 훨씬 작아져 실수가 크게 줄어든다.

 

동일한 논리를 $y$축과 $z$축에 대해서도 그대로 적용할 수 있다. 각 좌표축은 서로 직교하며 독립적으로 작용하므로, $y$와 $z$ 역시 동일한 형태를 갖는다.

$$y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n}, \quad z = \frac{mz_2 + nz_1}{m + n}$$

결과적으로 공간에서 선분 $AB$를 $m : n$으로 내분하는 점 $P$의 좌표는 다음과 같다.

$$P\left( \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}, \; \frac{my_2 + ny_1}{m + n}, \; \frac{mz_2 + nz_1}{m + n} \right)$$

특별한 경우 (중점): $m = n = 1$일 때, 선분 $AB$의 중점 $M$은 세 축 각각의 산술평균이 된다.

$$M\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \; \frac{y_1 + y_2}{2}, \; \frac{z_1 + z_2}{2} \right)$$

외분점 $Q$의 좌표 유도(2022 개정교육과정에선 빠짐)

선분 $AB$의 연장선 위에 있으면서 $\overline{QA} : \overline{QB} = m : n$ ($m \ne n$)을 만족하는 외분점 $Q(x, y, z)$ 역시 같은 방식으로 유도된다.

$m > n$인 경우를 생각해보면, 점 $Q$는 점 $B$의 바깥쪽 연장선 위에 위치합니다. 이를 $x$축 위로 투영한 점들 사이의 거리는 다음과 같다.

$$\overline{A_xQ_x} = x - x_1, \quad \overline{B_xQ_x} = x - x_2$$

비례식에 대입하면:

$$(x - x_1) : (x - x_2) = m : n$$

$$m(x - x_2) = n(x - x_1)$$

$$mx - mx_2 = nx - nx_1$$

$$(m - n)x = mx_2 - nx_1$$

따라서 외분점의 $x$좌표는 다음과 같이 정리된다.

$$x = \frac{mx_2 - nx_1}{m - n}$$

$m < n$인 경우(점 $A$의 바깥쪽에 위치하는 경우)에도 부호 관계를 정리하면 동일한 결과에 도달한다. $y$좌표와 $z$좌표 또한 같은 대칭성을 가지므로, 외분점 $Q$의 좌표는 다음과 같다.

$$Q\left( \frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, \; \frac{my_2 - ny_1}{m - n}, \; \frac{mz_2 - nz_1}{m - n} \right)$$

외분점 공식은 내분점 공식에서 $n$ 대신 $-n$을 대입한 대수적 형태와 정확히 일치한다. 이것은 벡터의 방향과 연관지어 생각하면 쉽다.

무게중심으로의 확장

내분점 공식의 유용성은 삼각형의 무게중심을 구할 때 분명하게 드러난다.

공간 위의 세 점 $A(x_1, y_1, z_1)$, $B(x_2, y_2, z_2)$, $C(x_3, y_3, z_3)$으로 이루어진 삼각형 $ABC$에서, 변 $BC$의 중점 $M$의 좌표는 다음과 같다.

$$M\left( \cfrac{x_2 + x_3}{2}, \; \cfrac{y_2 + y_3}{2}, \; \cfrac{z_2 + z_3}{2} \right)$$

무게중심 $G$는 꼭짓점 $A$와 대변의 중점 $M$을 잇는 중선 $AM$을 $2 : 1$로 내분하는 점이므로, 내분점 공식에 대입하면 다음과 같이 깔끔하게 정리된다.

$$x_G = \cfrac{2 \cdot \left(\cfrac{x_2 + x_3}{2}\right) + 1 \cdot x_1}{2 + 1} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$$

$$G\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \; \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \; \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} \right)$$

공간에서의 내분점과 외분점은 새로운 공식을 외우는 것이 아니다. 1차원 수직선에서 시작된 비례의 원리가 2차원 평면을 거쳐 3차원 공간에 이르기까지, '각 성분별로 독립적으로 적용된다'는 수학적 일관성을 확인하는 아름다운 과정이다.

구의 방정식

좌표공간에서 점 $C(a,b,c)$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $r$인 구면 위에 있는 한 점을 $P(x,y,z)$라고 하자. 원과 마찬가지로 두 점 사이의 거리를 이용하여 쉽게 구의 방정식을 구할 수 있다.

$$\overline{CP}=r$$ 

$$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2 +(z-c)^2}=r$$

$$(x-a)^2+(y-b)^2 +(z-c)^2=r^2\tag{4}$$