다항식 인수분해의 활용

문제 $(\sqrt{3 }+\sqrt{2})^6$과 가장 가까운 자연수를 구하여라.(단, 근삿값 계산을 하지 않고 구하여라.)

먼저 인수분해를 활용하는 방법을 생각해 보자.

$$(\sqrt{3 }+\sqrt{2})^4 =\sqrt{3}^4 +4\sqrt{3}^3 \sqrt{2}+6\sqrt{3}^2 \sqrt{2}^2+ 4\sqrt{3}\sqrt{2}^3 +\sqrt{2}^4$$

홀수 차수를 계산할 때 문제가 있음을 알 수 있다. 그러므로 홀수 차수를 계산하지 않고 구하는 방법을 생각하기로 하자.

$$(\sqrt{3 }-\sqrt{2})^4 =\sqrt{3}^4 -4\sqrt{3}^3 \sqrt{2}+6\sqrt{3}^2 \sqrt{2}^2- 4\sqrt{3}\sqrt{2}^3 +\sqrt{2}^4$$

를 더하면 홀수 차수 계산을 하지 않아도 됨을 알 수 있다.

$$(\sqrt{3 }+\sqrt{2})^6 =(\sqrt{3 }+\sqrt{2})^6 +(\sqrt{3 }-\sqrt{2})^6 - (\sqrt{3 }-\sqrt{2})^6$$

로 놓고 생각해 보자. 인수분해를 활용하자.

$a=(\sqrt{3 }+\sqrt{2})^2 =5+2\sqrt6,\;\;b=(\sqrt{3 }-\sqrt{2})^2 =5-2\sqrt6$이라고 하면

$a^3 +b^3 =(a+b)(a^2 -ab+b^2)$이므로

$(\sqrt{3 }+\sqrt{2})^6 +(\sqrt{3 }-\sqrt{2})^6 =10((25+24)\times 2-1)=970$이다.

이제, $\displaystyle{\sqrt3 -\sqrt2 < \frac{1}{2}}\;\;\;(\because(\sqrt3 +\sqrt2)(\sqrt3 -\sqrt2)=1)$이므로

$\displaystyle{(\sqrt{3 }-\sqrt{2})^6 < \frac{1}{2}}$이다.

그러므로 $970$이 가장 가까운 자연수이다.

이항정리를 활용하면 $(\sqrt{3 }+\sqrt{2})^{2n}$까지 일반화 할 수 있다.