사인, 코사인 법칙
수학이야기/고등수학 2014. 6. 3. 11:52사인법칙
삼각비를 이용하여 삼각형의 세 변의 길이와 세 각의 크기 사이의 관계를 알아보자.
삼각형 $ABC$에서 $\angle A ,\; \angle B,\; \angle C$의 크기를 각각 $A,\; B,\; C$로 나타내고, 이들의 대변의 길이를 각각 $a,\; b,\; c$로 나타내기로 한다. 마주보는 각의 크기와 변의 길이는 서로 비례한다는 것은 직관적으로 알 수 있다. 이 관계를 정확하게 나타낸 것이 바로 사인법칙이다.
$\triangle ABC$ 외접원의 중심을 $O$라 하고 $\angle A$의 크기에 따라 세 경우로 나누어 생각한다.
1) $\displaystyle{0<A< \frac{\pi}{2}}$일 때, $A=A^{\prime}$이고 $\displaystyle{\angle{A^{\prime}CB}=\frac{\pi}{2}}$이므로
$$\displaystyle{\sin A =\sin A^{\prime}=\frac{a}{2R}}$$
2) $\displaystyle{\frac{\pi}{2}<A }$일 때, $A=\pi-A^{\prime}$이고 $\displaystyle{\angle{A^{\prime}CB}=\frac{\pi}{2}}$이므로
$$\displaystyle{\sin A =\sin (\pi-A^{\prime})=\sin A^{\prime}=\frac{a}{2R}}$$
3) $\displaystyle{A=\frac{\pi}{2}}$일 때, $\sin A=1,\;\; a=2R$이므로
$$\sin A=1=\frac{a}{2R}$$
마찬가지로
$$\sin B=\frac{b}{2R},\;\;\sin C =\frac{c}{2R}$$
$\blacksquare$
$\triangle ABC$ 외접원의 반지름을 $R$로 나타내면 아래와 같은 등식이 성립하는데 이를 사인법칙으로 부른다.
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$
코사인법칙
제1 코사인법칙
1) $\displaystyle{C<\frac{\pi}{2},\;\;\; a=\overline{BH}+\overline{HC}=c\cos B+b \cos C}$
2) $\displaystyle{C>\frac{\pi}{2},\;\;\; a=\overline{BH}-\overline{HC}=c\cos B-b \cos (\pi-C)}=c\cos B +b\cos C$
3) $\displaystyle{C=\frac{\pi}{2},\;\;\; a=\overline{BH}=c\cos B+b \cos C}\;\;(\because \cos C=0)$
마찬가지로 아래와 같은 제 1 코사인 법칙이 성립한다.
$$a=b\cos C +c\cos B,\;\;b=c\cos A +a\cos C,\;\;c=a\cos B+b\cos A$$
제 1 코사인 법칙은 활용하기 불편하므로 살짝 바꿔서 제 2 코사인 법칙을 만든다. 위에 있는 식에서 $\cos A, \cos B, \cos C$ 가운데 둘을 없애고 각이 하나만 들어 있는 식으로 바꾸기로 한다. 먼저 계수를 같게 하기 위해 각각 $a,\;b,\;c$를 곱하고 적당히 빼면 된다.
$$a^2 =ab\cos C +ca\cos B\tag{1}$$
$$b^2 =bc\cos A +ab\cos C\tag{2}$$
$$c^2 =ac\cos B+bc\cos A\tag{3}$$
이를 알맞게 고치면 예를 들면 첫째 식에서 나머지 두 식을 빼면 $\cos A$만 들어 있는 식을 얻을 수 있다.
(1)-(2)-(3)
$$a^2-b^2-c^2=-2bc \cos A$$
이를 정리하여 제 2 코사인 법칙을 찾을 수 있는데 이것은 피타고라스 정리의 일반화다.
$$a^2 =b^2 +c^2 -2bc \cos A$$
$$b^2 =c^2 +a^2 -2ca \cos B$$
$$c^2 =a^2 +b^2 -2ab \cos C$$
아주 오래된 정리이고 중요한 정리라 참 많은 증명이 있다.
원의 성질을 이용한 증명
$\triangle ABC$에서 $C$를 중심으로 반지름 $a$인 원을 그린다. 세 변의 연장선과 원이 만나는 점을 각각 $D,E,F,G$로 놓는다.
원의 성질에 따라 $\overline{BA}\times \overline{AF}=\overline{EA}\times \overline{AG}$이므로
$$c(2a\cos B-c)=(a-b)(a+b)$$
이다. 이를 정리하면
$$b^2 =c^2 +a^2 -2ac \cos B$$
$\blacksquare$
꼭짓점 $A$가 원둘레나 원 밖에 있을 때도 쉽게 증명할 수 있다.
수심을 이용한 증명
수심을 이용하여 피타고라스 정리의 증명 가운데 가장 널리 알려진 증명(신부의 의자)과 비슷한 방법으로 증명할 수 있다.
$$A_1 =A_6=ac\cos B,\;\;(\because \overline{BG}=a\cos B,\;\;\overline{BE}=c\cos B)$$
마찬가지로
$$A_2 =A_3=ab\cos C,\;\;A_4 =A_5=bc\cos A$$
\begin{split}a^2 &=A_1 +A_2 \\&=A_6 +A_3 \\&=c^2 -A_5 +b^2 -A_4 \\&=c^2 +b^2 -2bc\cos A\end{split}
$$\therefore\;\;a^2 =b^2 +c^2 -2bc \cos A$$
$\blacksquare$
유클리드 원론
역사적으로 가장 오래된 증명은 유클리드 원론에 나온다. 유클리드의 <원론> 제 2권에 있는 명제 12번은 둔각삼각형 명제 13번은 예각삼각형을 다루고 있다. 증명은 삼각비를 쓰지 않고 오로지 길이와 넓이로 증명하고 있다.
2권 명제 12: 둔각삼각형에서 둔각의 대변 위의 정사각형은 둔각을 끼는 두 변 위의 정사각형의 합보다, 둔각을 끼는 변의 하나와 이 변에 수선이 내려지고, 이 둔각에의 수선에 의해서 외부에 잘려진 선분으로 에워싸인 직사각형의 2배만큼 크다.
증명 : 그림에서와 같이 △ABC는 둔각삼각형이다. ∠BAC는 둔각이다.
꼭지점 B에서 변AC의 연장선에 내린 수선의 발을 D라고 하자. [제1권 명제12]
이제 다음을 보이도록 한다. 변 BC를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 변 AB를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 변 AC를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합보다 변 AD와 변 AC를 두 변으로 가지는 직사각형의 넓이의 2배만큼 더 크다.
선분 CD가 선분CD 위의 점 A에 의해서 나누어졌다고 한다면, 선분 CD를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 선분 AC를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 선분 AD를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이, 선분 AC와 선분 AD를 두 변으로 가지는 직사각형의 넓이의 2배의 합과 같아질 것이다.[제2권 명제4]
$$\overline{CD}^2 =(\overline{AC}+\overline{DA})^2 =\overline{AC}^2 +\overline{DA}^2 +2\overline{AC}\cdot \overline{DA}$$
그리고, 양변에 선분 BD를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이를 더하면, 선분 CD를 한 변으로 하는 정사각형과 선분 BD를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합은 선분 AC를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 선분 AD를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이, 선분 BD를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이, 선분 AC와 선분 AD를 두 변으로 가지는 직사각형의 넓이의 2배의 합과 같아질 것이다.
$$\overline{CD}^2 + \overline{BD}^2 =\overline{AC}^2 +\overline{DA}^2 +2\overline{AC}\cdot \overline{DA}+\overline{BD}^2 $$
그런데, ∠D가 직각이므로 선분BC를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 선분 CD를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 선분 BD를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합과 같다. 또한, 선분 AB를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 선분 AD를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 선분 BD를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합과 같다.[제1권 명제47]
$$\overline{BC}^2 =\overline{AC}^2 +\overline{AB}^2 +2\overline{AC}\cdot \overline{DA} $$
그러므로, 변 BC를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 변 AC를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 변 AB를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이, 선분 AC와 선분 AD를 두 변으로 가지는 직사각형의 넓이의 2배의 합과 같다. 즉, 변 BC를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 변 AB를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 변 AC를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합보다 변 AD와 변 AC를 두 변으로 가지는 직사각형의 넓이의 2배만큼 더 크다.
$$\overline{BC}^2 =\overline{AC}^2 +\overline{AB}^2 +2\overline{AC}\cdot \overline{AB}\cos (\pi -A) $$
$$\overline{BC}^2 =\overline{AC}^2 +\overline{AB}^2 -2\overline{AC}\cdot \overline{AB}\cos A $$
$\blacksquare$
Timothy A. Sipka의 증명방법
임의의 삼각형을 직각삼각형으로 바꾸는 방법을 이용하여 Timothy A. Sipka 는 다음과 같은 방법으로 코사인 제 2법칙을 증명하고 있다.(Roger, 1993)
$$\overline{AD}=b\sin C,\;\;\overline{BD}=a-b\cos C$$
\begin{split}c^2 &=(b\sin C)^2 +(a-b\cos C)^2 \\&=b^2 \sin^2 C+a^2 +b^2 \cos^2 C -2ab\cos C\end{split}
$$\therefore\;\;c^2 =a^2 +b^2 -2ab\cos C$$
$\blacksquare$
1. 세 변의 길이가 주어질 때,
2. 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어질 때,
3. 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 주어질 때,
삼각형은 오로지 하나로 결정된다.
삼각형에 있는 세 변과 세 각 가운데 적당한 세 가지 값을 알면 나머지 값을 모두 알 수 있다는 것이다. 문제에 주어진 조건이 삼각형의 결정조건 가운데 어떤 것인가 살펴보고 알맞은 사인, 코사인 법칙을 찾아서 활용하면 문제를 쉽게 해결할 수 있다.
