사인, 코사인 법칙

사인법칙

삼각비를 이용하여 삼각형의 세 변의 길이와 세 각의 크기 사이의 관계를 알아보자.

삼각형 $ABC$에서 $\angle A ,\; \angle B,\; \angle C$의 크기를 각각 $A,\; B,\; C$로 나타내고, 이들의 대변의 길이를 각각 $a,\; b,\; c$로 나타내기로 한다. 마주보는 각의 크기와 변의 길이는 서로 비례한다는 것은 직관적으로 알 수 있다. 이 관계를 정확하게 나타낸 것이 바로 사인법칙이다.

$\triangle ABC$ 외접원의 중심을 $O$라 하고 $\angle A$의 크기에 따라 세 경우로 나누어 생각한다.

1) $\displaystyle{0<A< \frac{\pi}{2}}$일 때, $A=A^{\prime}$이고 $\displaystyle{\angle{A^{\prime}CB}=\frac{\pi}{2}}$이므로

$${\displaystyle \sin A=\sin A^{\prime }=\frac{a}{2R}}$$

2) $\displaystyle{\frac{\pi}{2}<A }$일 때, $A=\pi-A^{\prime}$이고 $\displaystyle{\angle{A^{\prime}CB}=\frac{\pi}{2}}$이므로

$${\displaystyle \sin A=\sin (\pi -A^{\prime })=\sin A^{\prime }=\frac{a}{2R}}$$

3) $\displaystyle{A=\frac{\pi}{2}}$일 때, $\sin A=1,\;\; a=2R$이므로

$$\sin A=1=\frac{a}{2R}$$

마찬가지로

$$\sin B=\frac{b}{2R},\sin C=\frac{c}{2R}$$

$\blacksquare$

$\triangle ABC$ 외접원의 반지름을 $R$로 나타내면 아래와 같은 등식이 성립하는데 이를 사인법칙으로 부른다.

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$

코사인법칙

제1 코사인법칙

1) $\displaystyle{C<\frac{\pi}{2},\;\;\; a=\overline{BH}+\overline{HC}=c\cos B+b \cos C}$

2) $\displaystyle{C>\frac{\pi}{2},\;\;\; a=\overline{BH}-\overline{HC}=c\cos B-b \cos (\pi-C)}=c\cos B +b\cos C$

3) $\displaystyle{C=\frac{\pi}{2},\;\;\; a=\overline{BH}=c\cos B+b \cos C}\;\;(\because \cos C=0)$

마찬가지로 아래와 같은 제 1 코사인 법칙이 성립한다.

cos1_law.ggb

다운로드

$$a=b\cos C+c\cos B,b=c\cos A+a\cos C,c=a\cos B+b\cos A$$

제 1 코사인 법칙은 활용하기 불편하므로 살짝 바꿔서 제 2 코사인 법칙을 만든다. 위에 있는 식에서 $\cos A, \cos B, \cos C$ 가운데 둘을 없애고 각이 하나만 들어 있는 식으로 바꾸기로 한다. 먼저 계수를 같게 하기 위해 각각 $a,\;b,\;c$를 곱하고 적당히 빼면 된다.
$$\begin{array}{}\text{(1)}& a^2=ab\cos C+ca\cos B\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& b^2=bc\cos A+ab\cos C\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& c^2=ac\cos B+bc\cos A\end{array}$$

이를 알맞게 고치면 예를 들면 첫째 식에서 나머지 두 식을 빼면 $\cos A$만 들어 있는 식을 얻을 수 있다.

(1)-(2)-(3)

$$a^2-b^2-c^2=-2bc\cos A$$

이를 정리하여 제 2 코사인 법칙을 찾을 수 있는데 이것은 피타고라스 정리의 일반화다.

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

$$b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$$

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$

cos2_1_law.ggb

다운로드

cos2_law.ggb

다운로드

아주 오래된 정리이고 중요한 정리라 참 많은 증명이 있다.

원의 성질을 이용한 증명

$\triangle ABC$에서 $C$를 중심으로 반지름 $a$인 원을 그린다. 세 변의 연장선과 원이 만나는 점을 각각 $D,E,F,G$로 놓는다.

원의 성질에 따라 $\overline{BA}\times \overline{AF}=\overline{EA}\times \overline{AG}$이므로

$$c(2a\cos B-c)=(a-b)(a+b)$$

이다. 이를 정리하면

$$b^2=c^2+a^2-2ac\cos B$$

$\blacksquare$

꼭짓점 $A$가 원둘레나 원 밖에 있을 때도 쉽게 증명할 수 있다.

수심을 이용한 증명

수심을 이용하여 피타고라스 정리의 증명 가운데 가장 널리 알려진 증명(신부의 의자)과 비슷한 방법으로 증명할 수 있다.

$$A_1=A_6=ac\cos B,(\because \overline{BG}=a\cos B,\overline{BE}=c\cos B)$$

마찬가지로

$$A_2=A_3=ab\cos C,A_4=A_5=bc\cos A$$

$$\begin{array}{rl}{a}^2& =A_1+A_2\\ & =A_6+A_3\\ & =c^2-A_5+b^2-A_4\\ & =c^2+b^2-2bc\cos A\end{array}$$

$$\therefore a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

$\blacksquare$

cos2_3.ggb

다운로드

 

유클리드 원론

역사적으로 가장 오래된 증명은 유클리드 원론에 나온다. 유클리드의 <원론> 제 2권에 있는 명제 12번은 둔각삼각형 명제 13번은 예각삼각형을 다루고 있다. 증명은 삼각비를 쓰지 않고 오로지 길이와 넓이로 증명하고 있다.

2권 명제 12: 둔각삼각형에서 둔각의 대변 위의 정사각형은 둔각을 끼는 두 변 위의 정사각형의 합보다, 둔각을 끼는 변의 하나와 이 변에 수선이 내려지고, 이 둔각에의 수선에 의해서 외부에 잘려진 선분으로 에워싸인 직사각형의 2배만큼 크다.

증명 : 그림에서와 같이 △ABC는 둔각삼각형이다. ∠BAC는 둔각이다.

 꼭지점 B에서 변AC의 연장선에 내린 수선의 발을 D라고 하자. [제1권 명제12]

이제 다음을 보이도록 한다. 변 BC를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 변 AB를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 변 AC를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합보다 변 AD와 변 AC를 두 변으로 가지는 직사각형의 넓이의 2배만큼 더 크다.

선분 CD가 선분CD 위의 점 A에 의해서 나누어졌다고 한다면, 선분 CD를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 선분 AC를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 선분 AD를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이, 선분 AC와 선분 AD를 두 변으로 가지는 직사각형의 넓이의 2배의 합과 같아질 것이다.[제2권 명제4]

$${\overline{CD}}^2=(\overline{AC}+\overline{DA}{)}^2={\overline{AC}}^2+{\overline{DA}}^2+2\overline{AC}\cdot \overline{DA}$$

그리고, 양변에 선분 BD를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이를 더하면, 선분 CD를 한 변으로 하는 정사각형과 선분 BD를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합은 선분 AC를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 선분 AD를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이, 선분 BD를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이, 선분 AC와 선분 AD를 두 변으로 가지는 직사각형의 넓이의 2배의 합과 같아질 것이다.

$${\overline{CD}}^2+{\overline{BD}}^2={\overline{AC}}^2+{\overline{DA}}^2+2\overline{AC}\cdot \overline{DA}+{\overline{BD}}^2$$

그런데, ∠D가 직각이므로 선분BC를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 선분 CD를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 선분 BD를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합과 같다. 또한, 선분 AB를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 선분 AD를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 선분 BD를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합과 같다.[제1권 명제47]

$${\overline{BC}}^2={\overline{AC}}^2+{\overline{AB}}^2+2\overline{AC}\cdot \overline{DA}$$

그러므로, 변 BC를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 변 AC를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 변 AB를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이, 선분 AC와 선분 AD를 두 변으로 가지는 직사각형의 넓이의 2배의 합과 같다. 즉, 변 BC를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 변 AB를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 변 AC를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합보다 변 AD와 변 AC를 두 변으로 가지는 직사각형의 넓이의 2배만큼 더 크다.

$${\overline{BC}}^2={\overline{AC}}^2+{\overline{AB}}^2+2\overline{AC}\cdot \overline{AB}\cos (\pi -A)$$

$${\overline{BC}}^2={\overline{AC}}^2+{\overline{AB}}^2-2\overline{AC}\cdot \overline{AB}\cos A$$

$\blacksquare$

Timothy A. Sipka의 증명방법

임의의 삼각형을 직각삼각형으로 바꾸는 방법을 이용하여 Timothy A. Sipka 는 다음과 같은 방법으로 코사인 제 2법칙을 증명하고 있다.(Roger, 1993)

$$\overline{AD}=b\sin C,\overline{BD}=a-b\cos C$$

$$\begin{array}{rl}{c}^2& =(b\sin C{)}^2+(a-b\cos C{)}^2\\ & =b^2{\sin }^{2}C+a^2+b^2{\cos }^{2}C-2ab\cos C\end{array}$$

$$\therefore c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$

$\blacksquare$

1. 세 변의 길이가 주어질 때,

2. 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어질 때,

3. 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 주어질 때,

삼각형은 오로지 하나로 결정된다.

삼각형에 있는 세 변과 세 각 가운데 적당한 세 가지 값을 알면 나머지 값을 모두 알 수 있다는 것이다. 문제에 주어진 조건이 삼각형의 결정조건 가운데 어떤 것인가 살펴보고 알맞은 사인, 코사인 법칙을 찾아서 활용하면 문제를 쉽게 해결할 수 있다.