피타고라스 짝과 프림프톤322
수학이야기 2014. 6. 20. 11:30프림프톤(Plimpton 322(BC 1900~1600))은 오늘날 이라크 지방인 바빌로니아에서 만든 점토판이다. 바빌로니아는 60진법을 썼는데 오늘날 우리가 쓰고 있는 십진법으로 고쳐보면 판에 쓰인 수들이 피타고라스 정리를 만족하는 자연수 해인 피타고라스 짝이라고 한다.
x2+y2=z2
(3,4,5)는 가장 널리 알려진 피타고라스 짝이다. 다들 알고 있듯이 변 길이가 3,4,5인 삼각형은 직각삼각형이다. 옛날에도 건축을 위해 수직이 필요했을 것이다. 직각을 얻기 위한 공식을 적은 것으로 보이는데 기원전에 이런 계산을 한 사람은 도대체 누굴까 궁금하다.
(1:)59:00:15 | 1:59 | 2:49 | 1 |
(1:)56:56:58:14:50:06:15 | 56:07 | 1:20:25 | 2 |
(1:)55:07:41:15:33:45 | 1:16:41 | 1:50:49 | 3 |
(1:)53:10:29:32:52:16 | 3:31:49 | 5:09:01 | 4 |
(1:)48:54:01:40 | 1:05 | 1:37 | 5 |
(1:)47:06:41:40 | 5:19 | 8:01 | 6 |
(1:)43:11:56:28:26:40 | 38:11 | 59:01 | 7 |
(1:)41:33:45:14:03:45 | 13:19 | 20:49 | 8 |
(1:)38:33:36:36 | 9:01 | 12:49 | 9 |
(1:)35:10:02:28:27:24:26 | 1:22:41 | 2:16:01 | 10 |
(1:)33:45 | 45 | 1:15 | 11 |
(1:)29:21:54:02:15 | 27:59 | 48:49 | 12 |
(1:)27:00:03:45 | 7:12:1 | 4:49 | 13 |
(1:)25:48:51:35:06:40 | 29:31 | 53:49 | 14 |
(1:)23:13:46:40 | 56 | 53 | 15 |
이제 좀더 자세히 살펴보자. 위에 말했듯이 바빌로니아는 60을 밑으로 썼으므로 첫째 줄을 십진수로 고쳐보자. 1:59는 1×60+59=119이고 마찬가지로 고치면 2:49=2×60+49=169이다. 이 두 수의 제곱의 차는 1692−1192=(169−119)(169+119)=50×288=1202처럼 완전제곱수이다. 정리하면
1192+1202=1692
이므로 첫째 줄은 피타고라스 짝 (119,120,169)를 알려주고 있다.
맨 앞에 있는 (1:)59:00:15는 소수 표현이다. 1+59×160+15×1602=2856114400=16921202
을 나타내고 이것은 빗변이 169, 밑변이 120인 직각삼각형에서 코사인 값과 관련된 값(sec2θ)이다.
cosθ=120169θ=44.76o
그러므로 이 판은 삼각함수표이기도 하다. 아쉽게도 9,13,15째 줄은 잘못이 있다고 하지만 만들어진 시절을 생각하면 정말 놀라운 숫자판임이 분명하다.
9째줄 9:1=9×60+1=541,12:49=12×60+49=769는 잘못된 해인데 9:1을 8:1=481로 고치면 (481,600,769)이므로 단순한 실수로 보인다.
13째줄 7:121:1=7×602+12×60+1=25921,4:49=4×60+49=289도 잘못인데 이는 25921=1612임을 주목하면 (161,240,289)가 피타고라스 짝이므로 161=2×60+41=2:41를 잘못 쓴 것으로 짐작할 수 있다.
15째줄 56,53으로도 짝을 만들 수 없는데 53×2=106=1:46으로 고치면 만들 수 있다.
따라서 계산은 제대로 했지만 점토판을 만드는 이가 실수로 틀린 것이 아닐까 생각한다.
제 1 열은 시컨트 제곱을 제 2열은 높이(a) 3열은 빗변(h)의 길이를 나타낸다. 잘못을 바로 잡고 오늘날 많이 쓰는 십진수로 바꾸면 아래와 같다.
sec2θ | 높이 | 빗변 | 차례 | 10진 높이 | 10진 빗변 |
(1:)59:00:15 | 1:59 | 2:49 | 1 | 119 | 169 |
(1:)56:56:58:14:50:06:15 | 56:07 | 1:20:25 | 2 | 3367 | 4825 |
(1:)55:07:41:15:33:45 | 1:16:41 | 1:50:49 | 3 | 4601 | 6649 |
(1:)53:10:29:32:52:16 | 3:31:49 | 5:09:01 | 4 | 12709 | 18541 |
(1:)48:54:01:40 | 1:05 | 1:37 | 5 | 65 | 97 |
(1:)47:06:41:40 | 5:19 | 8:01 | 6 | 319 | 481 |
(1:)43:11:56:28:26:40 | 38:11 | 59:01 | 7 | 2291 | 3541 |
(1:)41:33:45:14:03:45 | 13:19 | 20:49 | 8 | 799 | 1249 |
(1:)38:33:36:36 | 8:01 | 12:49 | 9 | 481 | 769 |
(1:)35:10:02:28:27:24:26 | 1:22:41 | 2:16:01 | 10 | 4961 | 8161 |
(1:)33:45 | 45 | 1:15 | 11 | 45 | 75 |
(1:)29:21:54:02:15 | 27:59 | 48:49 | 12 | 1679 | 2929 |
(1:)27:00:03:45 | 2:41 | 4:49 | 13 | 161 | 289 |
(1:)25:48:51:35:06:40 | 29:31 | 53:49 | 14 | 1771 | 3229 |
(1:)23:13:46:40 | 56 | 1:46 | 15 | 56 | 106 |
고대 바빌로니아 인들이 찾은 알고리즘은 아래와 같다.
먼저 (a,b,c)가 피타고라스 짝이면 양의 정수 m에 대하여 (ma,mb,mc)도 피타고라스 짝이다.
다음 네 가지 조건을 만족하는 두 수 p,q는 피타고라스 짝 (a,b,c)=(2pq,p2−q2,p2+q2)을 만든다.
- p,q∈Z+
- p>q
- 하나는 짝수이고 다른 하나는 홀수
- (p,q)=1