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피타고라스 짝과 프림프톤322::::수학과 사는 이야기

피타고라스 짝과 프림프톤322

수학이야기 2014. 6. 20. 11:30
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프림프톤(Plimpton 322(BC 1900~1600))은 오늘날 이라크 지방인 바빌로니아에서 만든 점토판이다. 바빌로니아는 60진법을 썼는데 오늘날 우리가 쓰고 있는 십진법으로 고쳐보면 판에 쓰인 수들이 피타고라스 정리를 만족하는 자연수 해인 피타고라스 짝이라고 한다.

x2+y2=z2

(3,4,5)는 가장 널리 알려진 피타고라스 짝이다. 다들 알고 있듯이 변 길이가 3,4,5인 삼각형은 직각삼각형이다. 옛날에도 건축을 위해 수직이 필요했을 것이다. 직각을 얻기 위한 공식을 적은 것으로 보이는데 기원전에 이런 계산을 한 사람은 도대체 누굴까 궁금하다.  

(1:)59:00:15 1:59 2:49 1
(1:)56:56:58:14:50:06:15 56:07 1:20:25 2
(1:)55:07:41:15:33:45 1:16:41 1:50:49 3
(1:)53:10:29:32:52:16 3:31:49 5:09:01 4
(1:)48:54:01:40 1:05 1:37 5
(1:)47:06:41:40 5:19 8:01 6
(1:)43:11:56:28:26:40 38:11 59:01 7
(1:)41:33:45:14:03:45 13:19 20:49 8
(1:)38:33:36:36

9:01

12:49 9
(1:)35:10:02:28:27:24:26 1:22:41 2:16:01 10
(1:)33:45 45 1:15 11
(1:)29:21:54:02:15 27:59 48:49 12
(1:)27:00:03:45 7:12:1 4:49 13
(1:)25:48:51:35:06:40 29:31 53:49 14
(1:)23:13:46:40 56 53 15

이제 좀더 자세히 살펴보자. 위에 말했듯이 바빌로니아는 60을 밑으로 썼으므로 첫째 줄을 십진수로 고쳐보자. 1:591×60+59=119이고 마찬가지로 고치면 2:49=2×60+49=169이다. 이 두 수의 제곱의 차는 16921192=(169119)(169+119)=50×288=1202처럼 완전제곱수이다. 정리하면

1192+1202=1692

이므로 첫째 줄은 피타고라스 짝 (119,120,169)를 알려주고 있다.

맨 앞에 있는 (1:)59:00:15는 소수 표현이다. 1+59×160+15×1602=2856114400=16921202

을 나타내고 이것은 빗변이 169, 밑변이 120인 직각삼각형에서 코사인 값과 관련된 값(sec2θ)이다.

cosθ=120169θ=44.76o

그러므로 이 판은 삼각함수표이기도 하다. 아쉽게도 9,13,15째 줄은 잘못이 있다고 하지만 만들어진 시절을 생각하면 정말 놀라운 숫자판임이 분명하다.

9째줄 9:1=9×60+1=541,12:49=12×60+49=769는 잘못된 해인데 9:18:1=481로 고치면 (481,600,769)이므로 단순한 실수로 보인다.

13째줄 7:121:1=7×602+12×60+1=25921,4:49=4×60+49=289도 잘못인데 이는 25921=1612임을 주목하면 (161,240,289)가 피타고라스 짝이므로 161=2×60+41=2:41를 잘못 쓴 것으로 짐작할 수 있다.

15째줄 56,53으로도 짝을 만들 수 없는데 53×2=106=1:46으로 고치면 만들 수 있다.

따라서 계산은 제대로 했지만 점토판을 만드는 이가 실수로 틀린 것이 아닐까 생각한다.


1 열은 시컨트 제곱을 제 2열은 높이(a) 3열은 빗변(h)의 길이를 나타낸다. 잘못을 바로 잡고 오늘날 많이 쓰는 십진수로 바꾸면 아래와 같다.

sec2θ 높이 빗변 차례 10진 높이 10진 빗변
(1:)59:00:15 1:59 2:49 1 119 169
(1:)56:56:58:14:50:06:15 56:07 1:20:25 2 3367 4825
(1:)55:07:41:15:33:45 1:16:41 1:50:49 3 4601 6649
(1:)53:10:29:32:52:16 3:31:49 5:09:01 4 12709 18541
(1:)48:54:01:40 1:05 1:37 5 65 97
(1:)47:06:41:40 5:19 8:01 6 319 481
(1:)43:11:56:28:26:40 38:11 59:01 7 2291 3541
(1:)41:33:45:14:03:45 13:19 20:49 8 799 1249
(1:)38:33:36:36

8:01

12:49 9 481 769
(1:)35:10:02:28:27:24:26 1:22:41 2:16:01 10 4961 8161
(1:)33:45 45 1:15 11 45 75
(1:)29:21:54:02:15 27:59 48:49 12 1679 2929
(1:)27:00:03:45 2:41 4:49 13 161 289
(1:)25:48:51:35:06:40 29:31 53:49 14 1771 3229
(1:)23:13:46:40 56 1:46 15 56 106

고대 바빌로니아 인들이 찾은 알고리즘은 아래와 같다.

먼저 (a,b,c)가 피타고라스 짝이면 양의 정수 m에 대하여 (ma,mb,mc)도 피타고라스 짝이다.

다음 네 가지 조건을 만족하는 두 수 p,q는 피타고라스 짝 (a,b,c)=(2pq,p2q2,p2+q2)을 만든다.

  1. p,qZ+
  2. p>q
  3. 하나는 짝수이고 다른 하나는 홀수
  4. (p,q)=1


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