피타고라스 짝과 프림프톤322

프림프톤(Plimpton 322(BC 1900~1600))은 오늘날 이라크 지방인 바빌로니아에서 만든 점토판이다. 바빌로니아는 60진법을 썼는데 오늘날 우리가 쓰고 있는 십진법으로 고쳐보면 판에 쓰인 수들이 피타고라스 정리를 만족하는 자연수 해인 피타고라스 짝이라고 한다.

$$x^2 +y^2 =z^2$$

$(3,4,5)$는 가장 널리 알려진 피타고라스 짝이다. 다들 알고 있듯이 변 길이가 $3,4,5$인 삼각형은 직각삼각형이다. 옛날에도 건축을 위해 수직이 필요했을 것이다. 직각을 얻기 위한 공식을 적은 것으로 보이는데 기원전에 이런 계산을 한 사람은 도대체 누굴까 궁금하다.  

(1:)59:00:15	1:59	2:49	1
(1:)56:56:58:14:50:06:15	56:07	1:20:25	2
(1:)55:07:41:15:33:45	1:16:41	1:50:49	3
(1:)53:10:29:32:52:16	3:31:49	5:09:01	4
(1:)48:54:01:40	1:05	1:37	5
(1:)47:06:41:40	5:19	8:01	6
(1:)43:11:56:28:26:40	38:11	59:01	7
(1:)41:33:45:14:03:45	13:19	20:49	8
(1:)38:33:36:36	9:01	12:49	9
(1:)35:10:02:28:27:24:26	1:22:41	2:16:01	10
(1:)33:45	45	1:15	11
(1:)29:21:54:02:15	27:59	48:49	12
(1:)27:00:03:45	7:12:1	4:49	13
(1:)25:48:51:35:06:40	29:31	53:49	14
(1:)23:13:46:40	56	53	15

이제 좀더 자세히 살펴보자. 위에 말했듯이 바빌로니아는 $60$을 밑으로 썼으므로 첫째 줄을 십진수로 고쳐보자. $1:59$는 $1\times 60+59=119$이고 마찬가지로 고치면 $2:49=2\times 60+49=169$이다. 이 두 수의 제곱의 차는 $169^2 -119^2 =(169-119)(169+119)=50\times 288=120^2$처럼 완전제곱수이다. 정리하면

$$119^2 +120^2 =169^2$$

이므로 첫째 줄은 피타고라스 짝 $(119,120,169)$를 알려주고 있다.

맨 앞에 있는 $(1:)59:00:15$는 소수 표현이다. $$1+59\times \frac{1}{60}+15\times \frac{1}{60^2}=\frac{28561}{14400}=\frac{169^2}{120^2}$$

을 나타내고 이것은 빗변이 $169$, 밑변이 $120$인 직각삼각형에서 코사인 값과 관련된 값($\sec ^2 \theta)$이다.

$$\cos \theta =\frac{120}{169}\quad \theta=44.76^o$$

그러므로 이 판은 삼각함수표이기도 하다. 아쉽게도 $9, 13, 15$째 줄은 잘못이 있다고 하지만 만들어진 시절을 생각하면 정말 놀라운 숫자판임이 분명하다.

$9$째줄 $9:1=9\times 60 +1=541, \;\;12:49=12\times 60+49=769$는 잘못된 해인데 $9:1$을 $8:1=481$로 고치면 $(481,600,769)$이므로 단순한 실수로 보인다.

$13$째줄 $7:121:1=7\times 60^2 +12\times 60 +1=25921,\;\;4:49=4\times 60+49=289$도 잘못인데 이는 $25921=161^2$임을 주목하면 $(161,240,289)$가 피타고라스 짝이므로 $161=2\times 60+41=2:41$를 잘못 쓴 것으로 짐작할 수 있다.

$15$째줄 $56,53$으로도 짝을 만들 수 없는데 $53\times 2=106=1:46$으로 고치면 만들 수 있다.

따라서 계산은 제대로 했지만 점토판을 만드는 이가 실수로 틀린 것이 아닐까 생각한다.

제 $1$ 열은 시컨트 제곱을 제 $2$열은 높이($a$) 3열은 빗변($h$)의 길이를 나타낸다. 잘못을 바로 잡고 오늘날 많이 쓰는 십진수로 바꾸면 아래와 같다.

$\sec^2 \theta$	높이	빗변	차례	10진 높이	10진 빗변
(1:)59:00:15	1:59	2:49	1	119	169
(1:)56:56:58:14:50:06:15	56:07	1:20:25	2	3367	4825
(1:)55:07:41:15:33:45	1:16:41	1:50:49	3	4601	6649
(1:)53:10:29:32:52:16	3:31:49	5:09:01	4	12709	18541
(1:)48:54:01:40	1:05	1:37	5	65	97
(1:)47:06:41:40	5:19	8:01	6	319	481
(1:)43:11:56:28:26:40	38:11	59:01	7	2291	3541
(1:)41:33:45:14:03:45	13:19	20:49	8	799	1249
(1:)38:33:36:36	8:01	12:49	9	481	769
(1:)35:10:02:28:27:24:26	1:22:41	2:16:01	10	4961	8161
(1:)33:45	45	1:15	11	45	75
(1:)29:21:54:02:15	27:59	48:49	12	1679	2929
(1:)27:00:03:45	2:41	4:49	13	161	289
(1:)25:48:51:35:06:40	29:31	53:49	14	1771	3229
(1:)23:13:46:40	56	1:46	15	56	106

고대 바빌로니아 인들이 찾은 알고리즘은 아래와 같다.

먼저 $(a,b,c)$가 피타고라스 짝이면 양의 정수 $m$에 대하여 $(ma,mb,mc)$도 피타고라스 짝이다.

다음 네 가지 조건을 만족하는 두 수 $p,q$는 피타고라스 짝 $(a,b,c)=(2pq,p^2 -q^2 ,p^2 +q^2)$을 만든다.

1. $p,q \in \mathbb{Z}^+$
2. $p>q$
3. 하나는 짝수이고 다른 하나는 홀수
4. $(p,q)=1$