새로운 방법으로 표현된 산술 원리

이탈리아 수학자 주세페 페아노(Giuseppe Peano)는 자연수 공리계를 세운 이로 유명하다. 그가 쓴 <새로운 방법으로 표현된 산술 원리(The principles of arithmetic presented by a new method ::Latin: Arithmetices principia, nova methodo exposita).>에 나오는 페아노 공리는 아래와 같다.

페아노 공리는 $N$ 또는 $\mathbb{N}$로 나타내는 자연수 집합에서 산술 원리를 정의한다. 상수 $0$과 함수 뒤따라 오는 수(따름수:successor)를 정의하는 함수 $S$로 이루어져 있다. (쉽게 나타내면 $S(n)=n+1$이다.)

1. $0 \in \mathbb{N}$
2. $\forall x\in \mathbb{N}\;\;\;\; x = x$      등호는 반사관계(reflexive)이다.
3. $\forall \;x,y\;\;\in \mathbb{N}\;\;\; x = y \;\Rightarrow \;y = x$     등호는 대칭관계(symmetric)이다.
4. $\forall x, y, z\in \mathbb{N} \;\;x = y ,\;\; y = z\;\;\Rightarrow\; x = z$.      등호는 추이관계(transitive)이다. 삼단논법을 생각하라. 
5. $\forall a , b$에 대하여 $a \in \mathbb{N}, \;\;a = b\;\;\Rightarrow b \in \mathbb{N}$  자연수는 등호연산에 닫혀있다.

나머지 공리는 자연수가 가진 성질을 나타낸다. 따름수(successor)를 정의하는 단항연산 $S$에 대하여도 닫혀있다.

1. $\forall \in \mathbb{N}\;\;\;S(n)\in \mathbb{N}$

페아노 공리는 $1$이 아닌 $0$에서 시작하는데 아마도 덧셈에서 아무 역할을 하지 않는 수에서 시작하기 위함으로 보인다. 공리 1 과 6은 단항 연산을 정의한다.  $1$은 $S(0)$으로 정의하고 $2 = S(S(0))$처럼 정의한다.($2= S(1)$로 쓸 수 있다.) 따라서, $n =S_n(0)$이다. ($S_n$은 $n$쌍의 괄호를 가진다) 

1. $\forall n\in \mathbb{N}$에 대하여 $S(n) \not= 0$       $0$이 따름수인 자연수는 없다.
2. $\forall \;m , n\in \mathbb{N}$에 대하여  $S(m) = S(n)\;\;\Rightarrow \;\;m = n$

$S$는 일대일 함수(injection)이다. 공리 1, 6, 7, 8은 자연수 집합이 $0, S(0), S(S(0))\;\;\cdots$로 구별되는 원소를 가지고 있음을 보장한다. $\{0, S(0), S(S(0)), \dots\} ⊆ \mathbb{N}$ 이것은 자연수 집합이 무한집합임을 보여준다. 

하지만, $\mathbb{N} = \{0, S(0), S(S(0)), …\}$임을 보여주지는 않는다. 반드시 $\mathbb{N} ⊆ \{0, S(0), S(S(0)), …\}$임을 보여야 한다. 즉, 모든 자연수는 $\{0, S(0), S(S(0)), …\}$ 가운데 있음을 보여야 한다.

이를 위해 귀납법 공리로 부르는 아래 공리가 필요하다. 

집합 $K$ 다음을 만족한다면 $\mathbb{N} ⊆ K$이다.

1. $0 \in K$
2. $\forall n \in K  \;\;\Rightarrow\;\; S(n) \in K$

귀납법 공리(The induction axiom)는 아래와 같이 쓰기도 한다.

9. $φ$가 아래를 만족하면  $φ(n)$은 모든 자연수 $n$에서 참이다.  

1) $φ(0)$가 참이고

2) $n \in \mathbb{N}$에서 $φ(n)$이 참이면 $φ(S(n))$도 참이다.