수리논술_삼각함수

1.  $\displaystyle{0<\theta<\frac{\pi}{2}}$일 때 부등식

$$\sin\theta<\theta<\tan\theta$$

이 성립한다. 이것을 이용하여 $x>1$일 때 부등식

$$\bigg( 1+\frac{1}{x}\bigg)^x <\bigg( \sec\frac{1}{\sqrt x }\bigg)^{2x}<\bigg(1+\frac{1}{x-1} \bigg)^x$$

이 성립함을 증명하여라.

2. 세 변의 길이가 $a,b,c$인 삼각형의 넓이는

$$\frac{\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}{4}$$

임을 증명하여라.

3. 등식$$\sec\frac{2\pi}{7}+\sec\frac{4\pi}{7}+\sec\frac{6\pi}{7}=-4$$

을 증명하여라. 참고::::드 므아브르 정리는 $(\cos\theta +i\sin\theta)^n =\cos n\theta+i\sin n\theta$이다.

4. 아래 그림에서 $\overline{AB}=\overline{BD}=1$이다. 

다음을 증명하여라.

$$\sin\alpha +\sin\beta=2\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2}$$

$$\cos\alpha +\cos\beta=2\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$$