수리논술_대수

1. 다음을 증명하여라.

  1) 연속하는 $n$개의 자연수들의 곱은 $n!$의 배수이다.

  2) $x$가 자연수일 때, $\displaystyle{\frac{x^5}{30}+\frac{x^4}{6}+\frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{3}-\frac{x}{30}}$은 자연수이다.

2. $2008!=a\times10^n$(단, $a$는 일의 자리 숫자가 $0$이 아닌 자연수)에서 $n$의 값을 구하여라.

3. 등변의 길이가 $1$인 이등변삼각형의 내접원의 넓이를 최대가 되게 하려면 밑변은 얼마로 해야 하는가 구하여라.

4. 양의 실수 $a\;,b\;c$가 있다. 다음 부등식이 성립함을 증명하여라.

$$a^a b^b c^c \geq(abc)^{\frac{a+b+c}{3}}$$

5. $a>0,\;b>0,\;c>0,\;d>0$일 때, 다음을 부등식을 증명하여라.

$$\frac{a^2 +b^2 +c^2}{a+b+c}+\frac{a^2+b^2 +d^2}{a+b+d}+\frac{a^2 +c^2 +d^2}{a+c+d}+\frac{b^2 +c^2 +d^2}{b+c+d}\geq a+b+c+d$$

6. 다음 부등식을 증명하여라.(단, $n\geq 1$)

$$\frac{1\times 3 \times 5 \times\cdots \times(2n-5)\times(2n-3)\times(2n-1)}{2\times 4\times 6\times\cdots \times(2n-4)\times(2n-2)\times 2n}<\frac{1}{\sqrt{2n}}$$