볼차노-바이어스트라스 정리

구간

아래와 같은 실수의 부분집합을 구간으로 부른다. $a,b\in \mathbb{R}, a\leq b$

$$(a,b)=\{x\in\mathbb{R}|a<x<b\}$$

$$[a,b]=\{x\in\mathbb{R}|a\leq x\leq b\}$$

$$[a,b)=\{x\in\mathbb{R}|a\leq x<b\}$$

$$(a,b]=\{x\in\mathbb{R}|a<x\leq b\}$$

위로부터 첫 번째는 열린 구간, 두 번째는 닫힌 구간, 나머지 둘은 반열린 구간(반닫힌 구간)이고 구간의 길이는 모두 $b-a$이다. 아래와 같은 구간도 있다.

$$(a,a)=\phi$$

$$(a,\infty)=\{x\in\mathbb{R}|a<x\}$$

$$(-\infty,b)=\{x\in\mathbb{R}|x<b\}$$

$$(-\infty, \infty)=\mathbb{R}$$

포개진 구간들 성질

$\forall n\in \mathbb{N}$에 대하여 $I_n \supseteq I_{n+1}$이라면 구간 $I_n$은 포개진 구간들(nested interval)이라고 한다.

$$I_1 \supseteq I_2 \supseteq I_3\supseteq \cdots \supseteq I_n \supseteq I_{n+1}\supseteq\cdots$$

보기  1. $\displaystyle{I_n =\bigg[0,\frac{1}{n}\bigg]}$은 포개진 구간들이다. $0$은 모든 구간에 들어있다. $\displaystyle{\cap_{n=1}^{\infty}I_{n}=\{0\}}$ 모든 포개진 구간들이 반드시 공통 원소를 가지진 않는다.

2. $\displaystyle{I_n =\bigg(0,\frac{1}{n}\bigg)}$은 포개진 구간들이지만 공통 원소를 가지지 않는다.

정리 유계이고 닫힌 구간 $\displaystyle{I_n =[a_n , b_n ],\;\;n\in\mathbb{N}}$이 포개진 구간들이면 $\forall n, \xi \in I_{n}$인 $\xi\in \mathbb{R}$가 존재한다.

증명 $I_{n}$이 포개긴 구간이라면 $I_{n}\in I_1$이므로 $\forall n$에 대하여 $a_{n}\leq b_1$이다.

집합 $S=\{a_n|n\in \mathbb{N}\}$은 공집합이 아니고 위로 유계되어있으므로 상한이 존재한다. $\xi=sup S$라고 하자.

$a_{n}\leq \xi$임은 명백하다.

$\forall n$에 대하여 $\xi \leq b_{n}$임을 보이자.

$b_n$과 집합 $\{a_k |k\in \mathbb{N}\}$을 생각하자.

1) $n\leq k$이라고 하면 $I_n \supseteq  I_k$이므로 $a_k\leq b_k \leq b_n$

2) $k< n$이면 $I_k \supseteq  I_n$이므로 $a_k\leq a_n \leq b_n$

1),2)에 의하여 $\forall n \in\mathbb{N}$에 대하여 $a_k\leq b_n$이다.

$b_n$은 $\{a_k |k\in \mathbb{N}\}$의 상계이다.

$a_n\leq \xi \leq b_n$이다.

$\therefore \forall n$에 대하여 $\xi \in I_n$

마찬가지로 $\eta=inf\{b_n|n\in \mathbb{N}\}$라고 하면

$a_n \leq \eta$이므로 $\xi \leq \eta$

$x\in I_n$이면 $\xi \leq x \leq \eta$

이제 $inf\{b_n -a_n|n\in\mathbb{N}\}=0$라고 하면 어떤 $\varepsilon>0$에 대하여 $0\leq\eta-\xi\leq b_n -a_n<\varepsilon$이 자연수 $n$이 존재한다. 모든 $\varepsilon$에 대하여 성립하려면 $\eta -\xi=0$이다.

정의 아래를 만족하는 점 $x\in \mathbb{R}$는 집합 $S \subset \mathbb{R}$의 극한점(limit point), 집적점(cluster point or accumulation point))이다.

모든 $\varepsilon$-근방 $V_{\varepsilon}=(x-\varepsilon, x+\varepsilon$)에 대하여 $V\cap S-\{x\}\not= \phi$이다.

정의를 다음과 같이 다르게 표현할 수 있다.

$x$:집합 $S$의 극한점이면 $\forall n\in \mathbb{N}$에 대하여 $\displaystyle{0<|x-s_n|<\frac{1}{n}}$인 $s_n$가 존재한다.

보기 1. $S_1=(0,1)$이면 $S_1$의 극한점은 $[0,1]$이다.

2. 유한집합은 집적점이 없다.

3. $\displaystyle{S_3=\{ \frac{1}{n}|n\in \mathbb{N}\}}$이면 $0$이 유일한 극한점이다.

4. $S_4 =(0,1)\cap \mathbb{Q}$라고 하면 $[0,1]$이 $S_4$의 극한점이다. 

5. $S_5 =(0,1)- \mathbb{Q}$라고 해도 마찬가지로 $[0,1]$이 $S_5$의 극한점이다. 

6. $S$가 위로 유계인 무한집합이고 $u=sup S$라고 하자. $u\not \in S$라면 $x\in(u-\varepsilon,u+\varepsilon)$인 $x\in S$가 존재하므로 $u$는 $S$의 극한점이다.

볼차노-바이어스트라스 정리(Bolzano–Weierstrass theorem)

실수의 부분집합이고 유계인 무한집합은 적어도 하나의 극한점을 가진다.

증명 $S\subset \mathbb{R}$: 유계인 무한집합이라고 하자.

유계이므로 $I_1 =[a ,b]\supseteq S$인 닫힌 구간이 존재한다.

이제 구간 $I_n$을 $\displaystyle{\bigg[a,\frac{1}{2}(a+b)\bigg]}$와 $\displaystyle{\bigg[\frac{1}{2}(a+b),b\bigg]}$로 나눈다. 이 두 구간 가운데 어느 하나는 반드시 $S$와 교집합이 무한집합이다. 

$S$와 교집합이 무한집합인 구간을 $I_2$라고 하고 같은 방법으로 다시 이등분한다.

마찬가지로 $S$와 교집합이 무한집합인 구간을 $I_3$으로 잡는다.

같은 방법으로 구간 수열 $I_n$을 잡아나가면

$$I_1 \supseteq I_2 \supseteq I_3\supseteq \cdots \supseteq I_n \supseteq I_{n+1}\supseteq\cdots$$

이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $x\in I_n$인 $x$가 존재한다.

주어진 $\varepsilon >0$과 $V=(x-\varepsilon ,x+\varepsilon)$에 대하여 $\displaystyle{\frac{b-a}{2^{n-1}}<\varepsilon}$인 $n$을 고를 수 있다. $x\in I_n, l_n<\varepsilon$이면 $I_n \subseteq V$이다. $I_n$ 무수히 많은 $S$의 원소를 가지고 있으므로 $x$와 구별되는 원소도 있다.

$\therefore x$는 $S$의 극한점이다.

수열에서 볼차노-바이어스트라스 정리(Bolzano–Weierstrass theorem)는 아래와 같이 표현된다.

정리 유계인 실수 수열(bounded sequence )은 반드시 수렴하는 부분 수열(convergent subsequence)을 가진다.

증명 먼저 모든 실수 수열 $x_{n}$은 단조 부분수열(monotone subsequence)을 가진다는 보조정리를 증명하자.

 $m > n\rightarrow x _n > x _m$ 를 만족하는 자연수 $n$ '꼭대기'로 부르자. $x_n$은 부분수열에 뒤에 나오는 모든 항보다 크다.

먼저 무수히 많은 '꼭대기'를 가진다고 가정하자.

$n_1 < n_2 < n_3 < \cdots n_j < \cdots$

수열 $\{x_{n_j}\}$ 단조 감소이다.

'꼭대기'가 유한개라고 하고 $N$이 마지막 '꼭대기'라고 하자. 

$n_1 = N + 1$은 '꼭대기'가 아니다. ($\because n_1 > N$)

따라서,  $n_2 > n_1$ 이고 $x_{n_2} \geq x_{n_1}$인  $n_2$가 존재한다. 

$n_2 > N$는 꼭대기가 아니므로 계속해서 $n_3 > n_2$이고 $x_{n_3} \geq x_{n_2}$인 $n_{i}$를 찾을 수 있다.

$x_{n_1} \leq x_{n_2} \leq x_{n_3} \leq \cdots$이므로 감소하지 않는 무한수열(non-decreasing subsequence)을 찾을 수 있다.

이제 유계인 수열을 생각하면 부분 수열도 유계이다. 위와 같이 단조인 부분 수열은 수렴한다.