6.6 Moments and Center of mass

구조와 기계 시스템은 질량이 "질량중심(center of mass)"으로 부르는 한 점에 모여 있듯이 작동한다. 따라서 이 점을 찾는 일이 중요한데 이 일은 수학 문제다. 먼저 1,2차원을 다루고 3차원은 다중적분(multiple integral)에서 다룬다.

직선에 놓인 질량 (Masses Along a Line)

먼저, $x$축 위에 질량이 $m_1 ,m_2 ,m_3$인 물체가 $x_1,x_2,x_3$에 놓여 있다고 하자. 원점에 지레 받침을 두었다고 하자.

이 시스템이 균형을 이루는가 아닌가는 질량의 크기와 위치에 달려있다. 질량($m_k$)에는 중력이 작용하여 아래로 힘(무게)가 생기는데 지레 받침을 중심으로 회전하려는 효과가 생기는데 이 효과를 만드는 힘을 토크(torque)로 부른다. 토그는 무게와 위치의 곱이다. 정리하면

무게 (Weight of $m_k$ ) : $F_k =m_k g$ (g 는 중력가속도)

토크 $m_k g x_k$

토크의 방향은 원점의 왼쪽에서 음(시계 반대 방향), 오른쪽에선 양(시계 방향)으로 정해진다. 토크의 합으로 원점을 중심으로 회전하는 경향을 측정한다. 토크의 합을 시스템 토크라고 한다.

$$system\;\;torque=m_1 g x_1 +m_2 g x_2 +m_3 g x_3 =g(m_1  x_1 +m_2  x_2 +m_3  x_3)\quad (1)$$

(1)에서 g는 환경에 따라 결정되는 상수이고 $m_1  x_1 +m_2  x_2 +m_3  x_3$는 환경에 상관없이 결정되는 수이다. 환경에 영향을 받지 않는 수 $m_1  x_1 +m_2  x_2 +m_3  x_3$를 원점에 대한 모멘트(moment of the system about the orign)이라고 한다.

$$M_0=Moment\;\;of\;\; the\;\; system\;\; about \;\; orign=\sum m_k x_k$$

이제 지레 받침을 $\overline{x}$로 옮겼다고 하자.

점 $\overline{x}$에 대한 토크는 아래와 같다.

$$torque\;\;about \;\;\overline{x}=(x_k -\overline{x}) m_k g $$

$\overline{x}$에 대한 토크의 합이 $0$이면 균형을 이룬다. 균형을 이루는 $\overline{x}$가 질량중심이다. 정리해 보자.

$$\sum (x_k -\overline{x}) m_k g =0$$

$$\overline{x} =\frac{\sum m_k x_k}{\sum m_k}$$

질량중심은 원점에 대한 시스템 토크를 질량 합으로 나눈 값이다.

평면에 분산된 질량(Masses Distributed over a Plane Region)

점 $(x_k, y_k)$에 질량 $m_k$가 놓여 있다고 하자. 각 $x,y$축에 대한 모멘트는 아래와 같다.

Moment about $x$-axis $M_x=\sum m_k y_k$

Moment about $y$-axis $M_x=\sum m_k x_k$

따라서 질량중심의 좌표는 아래와 같이 구한다.

$$\overline{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{\sum m_k x_k}{\sum m_k}$$

$$\overline{y}=\frac{M_x}{M}=\frac{\sum m_k y_k}{\sum m_k}$$

얇고 편평한 판(Thin, Flat Plates)

알루미늄 판과 같이 얇고 편평한 판에서 질량중심을 구해보자. 판의 두께는 생각하지 않으며 질량이 연속적으로 분산되어 있다고 하자. 정적분으로 구하기 위해 아래와 같이 $y$축에 평행한 가는 직사각형 띠(strip)로 잘랐다고 생각하자. 이 띠의 질량중심은 $(\widetilde{\;x\;},\widetilde{\;y\;})$라고 한다면 아래와 같이 구할 수 있다.

$$\overline{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{\sum \widetilde{\;x\;}\Delta m}{\sum \Delta m},\;\;\overline{y}=\frac{M_x}{M}=\frac{\sum \widetilde{\;y\;}\Delta m}{\sum \Delta m}$$

이것은 리만합이므로 아래와 같이 정적분으로 나타낼 수 있다.

$$\overline{x}=\frac{\int \widetilde{\;x\;}d m}{\int d m},\;\;\overline{y}=\frac{\int \widetilde{\;y\;}d m}{\int d m}$$

여기서 밀도가 $\delta(x)$로 주어질 때, 넓이가 있다면 $dm=\delta d A=\delta (strip\;\;length)dx$

길이만 있다면 $dm=\delta d S=\delta \sqrt{1+(f^{\prime}(x))^2}dx$로 구한다.