첫사랑은 이루어지지 않는다

왜 하필 이제야 내 앞에 나타나게 된 거야 (아~) 그토록 애타게 찾아 헤맬 때는 없더니 (어디서 무얼 했어)

혼자가 힘들어 곁에 있을 여자 친구가 (아~) 이제는 사랑이 되 버렸잖아

옛날 쿨이 불렀던 운명의 노랫말이다. 지금 사귀고 있는 사람과 결혼을 망설이고 있는가? 혹시 운명 같은 사람이 나타날까 걱정된다면 지금 사랑은 몇 번째인가 따져보라. 헤어진 사람이 셋이 넘는다면 망설이지 말고 결혼해도 된다. 더 좋은 사람을 만날 가능성은 점점 낮아진다.

맘에 드는 이가 어떤 사람이라도 그 사람과 사귈 수 있는 능력자라고 가정하고 10명을 만날 수 있다고 가정하자.

 $A_1,A_2 A_3,\cdots ,A_{10}$와 만날 수 있고 번호가 빠른 이가 더 좋은 인연이라고 놓자. 누가 더 먼저 당신 앞에 나타날 지는 정해지지 않았다. 이제 가장 좋은 사람인 $A_1$과 결혼할 확률을 계산해 보자.

1. 첫사랑이 바로 $A_1$일 확률은 0.1이다.

2. 다음으로 첫사랑과는 헤어지고 2번째 이후에 첫사랑보다 좋은 사람이 나타나면 결혼하기로 할 때 확률을 계산해 보자.

첫사랑이 바로 $A_1$이었다면 $A_1$과 결혼할 확률은 0이다.

첫사랑이 $A_2$였다면 그보다 나은 사람은 $A_1$뿐이므로 확률은 1이다. 확률은 $\displaystyle{\frac{1}{10}\times 1}$이다.

첫사랑이 $A_3$이라면 그 이후에 $A_1$이 $A_2$보다 먼저 나타나야 한다. 따라서 $\displaystyle{\frac{1}{10}\times \frac{1}{2}}$이다. 첫사랑이 $A_4$이라면 그 이후에 $A_1$이 $A_2 ,A_3$보다 먼저 나타나야 한다. 따라서 $\displaystyle{\frac{1}{10}\times \frac{1}{3}}$이다.

정리하면 $A_k$가 첫사랑이면 $A_1$과 결혼한 확률은 $\displaystyle{\frac{1}{10}\times \frac{1}{k-1}}$이다. (단, $k >1$인 자연수)

그러므로 확률을 모두 더하면 $$\frac{1}{10} \sum_{k=2}^{10}\bigg(\frac{1}{k-1}\bigg)=\frac{1}{10} \bigg(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}\bigg)=0.283$$이다.

3. 두 번째까지는 무조건 헤어지고 그 다음으로 두 번째까지 보다 더 나은 사람이 나타나면 결혼하는 전략을 쓰기로 할 때 $A_1$과 결혼할 확률은 이보다는 복잡하다.

첫사랑과 두 번째에 $A_1$이 있었다면 확률은 0이다.

첫사랑과 두 번째에 $A_2$가 있을 확률은 $\displaystyle{\frac{2\times 8 }{10\times 9}=\frac{8}{45}}$이고 둘보다 나은 이는 $A_1$ 뿐이므로 확률은 $\displaystyle{\frac{8}{45}\times 1 =\frac{8}{45}}$이다.

$A_3, A_4$와 같이 첫째나 둘째에 $A_3$이 가장 좋은 사람일 확률은$\displaystyle{\frac{2\times 7}{10\times 9}=\frac{7}{45}}$이고 그 뒤로 $A_1$이 $ A_2$보다 앞에 만날 확률은 $\displaystyle{\frac{1}{3}}$이다.

첫째나 둘째에 있는 가장 좋은 사람이 $A_k$이고 그 뒤로 $A_1$와 결혼할 확률은 $$\displaystyle{\frac{2\times {}_{10-k}P_{1}}{{}_{10}P_{2}}\times \frac{1}{k-1}=\frac{10-k}{45}\times \frac{1}{k-1}}$$이다. 그러므로 확률은 $$\frac{1}{45}\bigg(\frac{8}{1}+\frac{7}{2}+\frac{6}{3}+\cdots+\frac{1}{8}\bigg)=0.366$$

$r$번째까지 지나치고 그 다음에 이전 보다 좋은 사람이 나타나면 결혼하는 전략을 쓴다고 하고 일반적인 식을 적어보면 아래와 같다.

$$\displaystyle{\sum_{k=2}^{10-r+1}\frac{r\times {}_{10-k}P_{r-1}}{{}_{10}P_{r}}\times \frac{1}{k-1}}$$

계속해서 계산을 이어간다면 아래와 같은 표를 얻을 수 있다.

헤어진 사람 수	0	1	2	3	4
확률	0.1	0.283	0.366	0.399	0.398
헤어진 사람 수	5	6	7	8	9
확률	0.373	0.327	0.265	0.189	0.1

참고로 100명을 만날 수 있다면 37명과 만나고 헤어진 다음 이제까지보다 더 좋은 이가 나타났을 때 결혼하는 전략을 쓴다면 확률은 0.39이다.