1. Functions

함수는 미적분에서 기초다. 1장은 함수에 대한 복습이라고 생각하면 된다. 고등학교 교육과정에서 이미 충분한 공부가 이루어졌다고 가정한다면 용어와 정의를 영어로 확인하는 것으로 여기고 훑어보면 된다.

1-1 Function and Their Graphs

Definition A function $f$ from a set $D$ to a set $Y$ is a rule that assigns a unique(single) element $f(x)\in Y$ to each element $x\in D$

집합 $D$에서 $Y$로의 함수 $f$는 집합 $D$의 모든 원소 $x$에 대하여 집합 $Y$의 원소 $f(x)$가 유일하게 정해지는 약속(대응)이다. 여기서 집합 $D$는 정의역 domain이고 아래 집합 $f(X)$은 치역 range이다. 변수 $x$는 독립변수 independent variable 변수 $y$는 종속변수 dependent variable이다. 입력 input 산출 output으로 구별하기도 한다.

$$f(X)=\{f(x)|x\in D\}$$

함수는 크게 아래 네 가지 방식으로 표현한다.

1. 방정식 equation  2. 그래프 graph  3. 수로 만든 표 numerical table  4. 구술 verval description

반지름이 $r$인 원의 넓이를 구하는 공식은 $A=\pi r^2$이다. 이것을 독립변수 $r$의 함수로 생각한다면 $r>0$임은 자명하다. 하지만 $y=x^2$처럼 표현한 함수는 실수전체가 정의역이다. 이를 자연스러운 정의역 natural domain으로 부른다. 이 함수에서 정의역을 축소하여 생각하고 싶다면 $y=x^2, x>0$와 같이 따로 적어 주어야 한다. 치역이 실수인 함수는 실가함수 real-valued function로 부른다. 그래프 $G$는 아래와 같은 순서쌍으로 이루어진 집합이다.

$$G=\{(x,f(x))|x\in D\}$$

Definition Let $f$ be a function  defined on an interval $I$ and let $x_1$ and $x_2$ be any two points in $I$ 

1. If $f(x_2)>f(x_1)$ whenever $x_1 <x_2$, then $f$ is said to be increasing on $I$

2. If $f(x_2)<f(x_1)$ whenever $x_1 <x_2$, then $f$ is said to be decreasing on $I$

3. If $f(x_2)\geq f(x_1)$ whenever $x_1 \leq x_2$, then $f$ is said to be monotonic increasing on $I$

4. If $f(x_2)\leq f(x_1)$ whenever $x_1 \leq x_2$, then $f$ is said to be monotonic decreasing on $I$

Definition A function $f$ is an

              even function of $x$ if $f(-x)=f(x)$,

              odd function of $x$ if $f(-x)=-f(x)$,

     for every $x$ in the function's domain.

홀수, 짝수는 $x$ 거듭제곱(power)로부터 왔다. $y=x^2$은 $(-x)^2 =x^2$이므로 조건을 만족한다. 짝수 함수는 $y$축 대칭(symmetric about the y-axis)이다. 홀수 함수는 $y=x^3$처럼 원점 대칭(symmetric about the origin)이다.

Linear Functions

$f(x)=mx+b\quad(m,b \quad constant)$로 쓰여지는 함수의 그래프는 직선이다. 이 함수를 일차함수(linear function)로 부른다. 일차함수 $f(x)=mx$는 원점을 지나는데 기울기(slope)가 양이면 비례(proportionality) 관계라고 부른다. 특히, $m=1$인 경우는 항등함수(identity function)이다. 

Definition Two variables $y$ and $x$ are proportional (to one another) if ane is always a constant multiple of the another, that is, $y=kx$ for some nonzero constant $k$.

Power Functions

A function $f(x)=x^a$, where $a$ is aconstant, is called a power function.

Polynomials

A function $p$ is a polynomial if $$f(x)=a_n x^n +a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1 x +a_0$$

where $n$ is a nonnegative integer and the numbers $a_0 ,a_1,a_2,\cdots,a_n$ are real constant(called the coefficients of the polynomial)

다항함수(polynomial)는 정의역이 $(-\infty, \infty)$이고 맨 앞에 있는 계수 $a_n \not=0$이고 $n>0$이면 $n$을 다항식의 차수(degree)로 정한다. 2차 다항함수는 quadratic function 3차는 cubic function으로도 부른다.

Rational Functions

유리함수는 $f(x)=p(x)/q(x)$두 다항함수의 몫이나 비(quotient or ratio)이다.

Algebraic Functions

다항함수로부터 대수적 연산(addition, subtraction, multiplication, division, and taking roots)으로 얻어진 함수는 대수적 함수다. 

Trigonometric Functions

$f(x)=\sin x$

Exponential Functions

$f(x)=a^x$

Logarithmic Functions

$f(x)=log_a x$

Transcendental Functions

대수적 함수가 아닌 삼각함수, 지수함수, 로그함수는 초월함수이다.