다각수(polygonal numbers)

아래의 그림과 같이 점의 수를 늘려가면서 다각형 모양의 배열을 계속해서 만들어 갈 때, 각각의 다각형 모양의 배열을 만드는 점의 수를 “다각수(polygonal numbers)”라고 한다.

모든 다각형은 삼각형으로 나눌 수 있으므로 다각수는 삼각수로 표현할 수 있다. 보기를 들면 아래 그림처럼 사각수는 삼각수로 나눌 수 있다.

변이 $s$개인 $s$-각수를 차례대로 늘어 놓은 수열에서 $n$번 째 항을 $P(s,n)$이라 한다면

위 그림은 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$P(4,n)=T_{n-1}+T_n$$

이것을 일반화하면

$$P(s,n)=\frac{n^2 (s-2)-n(s-4)}{2}$$

또는

$$P(s,n)=(s-2)\frac{n(n-1)}{2}+n$$

이다.

삼각수 수열을 $T_n$이라고 한다면

$$P(s,n)=(s-2)T_{n-1} +n=(s-3)T_{n-1}+T_n$$

이다.

$$P(s,n+1)-P(s,n)=(s-2)n+1$$

$$P(s+1,n)-P(s,n)=T_n=\frac{n(n-1)}{2}$$

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Polygonal_number 

이와 비슷하게 정다각형의 내부에 점을 하나 찍고 더 큰 다각형에 포함되도록 모양을 만들어 갈 때 생기는 점의 개수를 중심 다각수(centered polygonal number)라고 한다.

중심 삼각수는 아래와 같다.

삼각수와 구별하기 위해 중심을 뜻하는 $c$를 넣어서 $n$번 째 중심 삼각수를 $P_c(3,n)$라고 하자. 규칙을 찾아보자.

$n$-중심 정삼각형은 내부에 $(n-1)$-중심 정삼각형을 포함하고 있으므로, $n$-중심 정삼각형의 세 변에 있는 점의 수만 생각하면 된다. 각 변에 $n$개씩의 점이 있으므로 $3n$개 늘어나지만 꼭짓점에 있는 $3$개는 중복이므로 $3n-3$ 즉, $3(n-1)$개의 점이 늘어난다. 따라서

$$P_c(3,n)=P_c(3, n-1)+3(n-1)$$이다.

$n$에 차례로 $2,3,\cdots,n$을 대입한 식을 적는다.

$$P_c(3,2)=P_c(3, 1)+3\cdot 1$$

$$P_c(3,3)=P_c(3, 2)+3\cdot 2$$

$$P_c(3,4)=P_c(3, 3)+3\cdot 3$$

$$\vdots$$

$$P_c(3,n-1)=P_c(3, n-2)+3(n-2)$$

$$P_c(3,n)=P_c(3, n-1)+3(n-1)$$

변변 모두 더하면

$$P_c(3,n)=P_c(3,1)+3\big(1+2+3+\cdots+(n-2)+(n-1)\big)=1+ \frac{3}{2}n(n-1)$$

중심 삼각수와 삼각수 사이의 관계를 알아보자. 아래 그림에서

$$P_c(3,n)=3P(3,n-1)+1$$

중심 사각수에도 같은 탐구를 해보자.