거북이로 코흐 눈송이 그리기

코흐 눈송이를 그리기에 앞서 코흐 곡선을 그리자.  코흐 곡선은 아래와 같은 일을 되풀이하면 된다.

0단계 : 주어진 길이(len)의 선분이 있다.

1단계 : 주어진 선분을 3등분 하고 가운데 삼각형 모양 홈을 만든다. 

코흐 곡선

>>> def ks(len,d):  

if d==0:             

t.fd(len)    

else:       

len=len/3    

d=d-1         

ks(len,d)

t.rt(60)

ks(len,d)

t.lt(120)

ks(len,d)

t.rt(60)

ks(len,d)

길이(len)와 단계(d)를 변수로 하는 함수를 정의한다.

if : 단계(d)가 0이면 주어진 길이 선분을 그린다. 

else : 단계가(d) 0이 아니라면 단계를 줄여가면 0이 될 때까지 선분을 3등분 한 길이로 같은 그림을 그린다.

코흐 곡선을 되풀이하여 그리면 코흐 눈송이가 된다.

>>> def kss(len,d):

for i in range(3):

ks(len,d)

t.lt(120)

 

 

위에 있는 코흐 곡선과 눈송이는 대표적인 프랙탈 도형이다.

먼저 코흐 곡선 길이를 구해보자.

$0$단계 길이를 $a$라고 하면 $1$단계는 $\displaystyle{\frac{4}{3}a}$이다. 단계별로 같은 비율로 늘어나는 등비수열을 이룬다.

따라서 $n$단계 길이를 $l_n$이라고 하면

$$l_n=\bigg(\frac{4}{3}\bigg)^n a$$

이므로 $$\lim_{n\rightarrow \infty}l_n=\infty$$

 

다음으로 코흐 눈송이 넓이를 구해보자.

 

$0$단계 넓이를 $S$라고 하면 $1$단계 넓이는 $\displaystyle{\frac{1}{9}S}$인 삼각형이 $3$개 더해진다.

$2$단계는 넓이가 $\displaystyle{\bigg(\frac{1}{9}\bigg)^2S}$인 삼각형이 $3\cdot 4$개 늘어난다.

$n$단계 넓이를 $S_n$이라고 하면

$$S_n =S+3\cdot \bigg(\frac{1}{9}\bigg)S+3\cdot 4\cdot \bigg(\frac{1}{9}\bigg)^2 S+\cdots+3\cdot 4^{n-1}\cdot\bigg(\frac{1}{9}\bigg)^nS=S+\frac{3}{5}S\bigg[1-\bigg(\frac{4}{9}\bigg)^{n}\bigg]$$

$$\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\frac{8}{5}S$$

 

코흐 눈송이를 둘러싸고 있는 곡선은 길이는 무한대로 발산하지만 넓이는 수렴한다. 뭔가 독특하지 않은가! 프랙탈 도형은 차원이 분수 차원이 된다.

코흐 눈송이 차원