지오지브라로 회전체 보이기

지오지브라는 몇 가지 방법으로 회전체를 나타낸다. 곡선 $y=f(x)$, $a\leq x \leq b$를 $x$축을 중심으로 돌린 회전체($S$)는 아래와 같이 방정식으로 표현할 수 있다.

$$y^2 + z^2 =[f(x)]^2$$

위 방정식에서 $z$를 아래와 같이 풀어서 지오지브라에 입력하면 곡면이 나타난다.

$$g(x,y)=\sqrt{[f(x)]^2-y^2}$$

$$h(x,y)=-\sqrt{[f(x)]^2-y^2}$$

하지만 곡면이 매끄럽게 나타나지 않아서 살짝 아쉽다. 위 방정식을 매개변수 방정식으로 표현해 보자.

$t\in [a,b]$로 놓으면

$$y^2 + z^2 =[f(t)]^2$$

에서 절단면은 중심이 $x$축 위 $(t,0)$이고 반지름 $f(t)$인 원이다. 중심각 $u$를 매개변수로 다시 적으면 아래와 같다.

$$y(u)=f(t)\cos (u), \;\;z(u)=f(t)\sin(u),\;\;u\in[0,2\pi]$$

그러므로 회전체는 방정식으로 다음과 같이 표현할 수 있다. 

$$x(t,u)=t,\;\; z(u)=f(t)\sin(u),\;\;u\in[0,2\pi]$$

여기서 $t\in[a,b],\;u\in[0,2\pi]$이다. 지오지브라는 이 곡면을 곡면(Surface) 명령으로 나타낸다. 한글로 입력해도 되지만 한/영 바꾸기 귀찮으므로 영어로 외워두는 것이 낫다.

Surface[x(t,u), y(t,u), z(t,u), t, a, b, u, c, d]

Surface[t, f(t) cos(u), f(t) sin(u), t, a, b, u, 0, 2pi]

$f(x)= {x^2}/{4}+1,\;\;x\in[0,3]$이라고 할 때, 아래와 같이 입력하면 그림을 보여준다.

Surface[t, f(t) cos(u), f(t) sin(u), t, 0, 3, u, 0, 2pi]

응용

우리 주위엔 회전체 모양을 가진 여러 가지 물건이 있다. 이런 입체를 사진으로 찍어 부피를 구해보자. 

모양만 봐도 알 수 있는 병이다. 울퉁불퉁하지만 매끄러운 회전체라고 가정하고 부피를 구해보자. 모양을 다항함수로 나타내는 명령은 polynomial이다.

polynomial[C,H,I,J,K,L,M,N,O]

결과로 만든 함수 $f(x)$에서 점 $C$에서 점 $O$까지 잘라낸 함수를 $g(x)$라고 하자.

위에서 설명한대로 아래와 같이 입력하면 회전체를 얻을 수 있다.

Surface[t, g(t) cos(u), g(t) sin(u), t, a, b, u, 0, 2pi]