역함수로 적분하기 Integrating inverses of functions

어떤 적분은 역함수로 치환하면 쉽게 해결되기도 한다.

$$\int f^{-1}(x)dx=\int y f^{\prime}(y)dy=yf(y)-\int f(y)dy=x f^{-1} (x)-\int f(y)dy$$

$$x=f(y)\quad dx=f^{\prime}(y) dy$$

보기 $$\int x \ln x dx=\int\ln x d\bigg(\frac{1}{2}x^2\bigg)= \frac{1}{2} x^2 \ln x-\int\frac{1}{2} x^2 \frac{1}{x}dx=\frac{1}{2} x^2 \ln x-\frac{1}{4} x^2 +C$$

$x=e^y\quad dx =e^y dy$이므로 

$$\int x \ln x dx=\int y e^{2y} dy= y \cdot \frac{1}{2} e^{2y}-\frac{1}{4}e^{2y}+C$$

다시 정리하면 그냥 부분적분으로 한 결과와 같다.

어떤 방법이 좋은가는 문제마다 사람마다 다르다. 다양한 방법이 있다는 것은 행복한 일이다. 둘 다 간단하지는 않지만 연습문제를 두 가지 방법으로 풀어 본다.