치환적분법

구간`[a,b]`에서 연속인 함수 `y=f(x)`에서 구간`[a,b]`을 `n`등분하는 점 `x_k`들은 공차가 $\displaystyle{\frac{b-a}{n}}$등차수열을 이룬다.

$$x_k=a+\frac{b-a}{n}\cdot k$$

이 때 각 점에서의 함숫값 $f(x_k )$과 공차 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$의 곱을 더한 값 $$\sum_{k=1}^{n}f(x_k ) \Delta x$$은 수렴한다. 이 극한값 $$\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}f(x_k ) Δx$$을 $a$에서 $b$까지의 정적분 $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x)dx}$으로 정의한다. 이것은 구분구적법을 일반화한 것이다.

$$\int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}f(x_k ) Δx    \quad (x_k =a+kΔx, \;\; Δx= \frac{b-a}{n})$$

이제 치환적분에 대해 생각해 보자. 아래는 사진은 위에 있는 사진을 가로만 반으로 줄여본 것이다. 두 사진에서 달라지는 것을 정적분과 연관지어 알아보자.

생각하기 쉽게 구간 `[0,2]`에서 정적분을 정의에 따라 써보자. 공차가 $\displaystyle{\frac{2}{n}}$인 등차수열 $\displaystyle{x_k = \frac{2k}{n}}$를 잡는다면 $$\int_{0}^{2} f(x)dx=\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}f(\frac{2k}{n} ) \frac{2}{n}$$이다.

이제 $x$축 반으로 줄였다고 생각하면 함수는 $y=f(2x)$, 구간은 `[0,1]`이고 공차는 $\displaystyle{\frac{1}{n}}$인 등차수열 $\displaystyle{x_k = \frac{k}{n}}$이 된다. $$\int_{0}^{1} f(2x)dx=\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}f(2 \cdot \frac{k}{n} ) \frac{1}{n}$$이다.

여기서 $$\frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}f(2 \cdot \frac{k}{n} ) \frac{2}{n} = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} f(x)dx $$이다.

$$\therefore \int_{0}^{1} f(2x)dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{2} f(x)dx $$

이는 두 사진에 하늘색 막대 넓이를 비교해보면 꼭 들어맞는다. 이는 `x`좌표가 질량 따위를 나타내는 것으로 보고 가중값이 주어진 것이라 여겨도 들어맞는다. 이처럼 어떤 변수를 다른 변수로 치환하면 적당히 적분구간을 바꾸고 두 변수 사이 변화량 사이 관계를 반영해 주면 된다.

위에서 알아본 것을 치환적분으로 바꿔보면
$$\int_{0}^{1} f(2x)dx$$에서 `2x=u`이고 $\displaystyle{2 \frac{dx}{du}=1}$이다.