카발리에리 적분

카발리에리의 원리

이탈리아의 수학자 카발리에리(Cavalieri.F.B.: 1598~1647)가 찾아낸 원리가 구분구적법과 정적분을 이어주고 있다. 그가 쓴 책 [불가분량의 기하학]에 카발리에리의 원리라고 불려지는 정리가 있다. 이와 비슷한 방법으로 고대 아르키메데스와 같은 이들이 구의 부피를 구했다고 하니 무척이나 놀랍다.

두 입체를 하나의 정해진 평면과 평행한 평면으로 잘랐을 때, 부피의 비는 그 잘린 면 넓이의 비와 같다.

그림 1은 반지름이 `r`인 구이고 그림 2는 밑면 반지름과 높이가 모두 `r`인 원기둥에서 직원뿔을 잘라낸 입체이다. 이 두 입체를 밑면에 평행인 평면으로 높이 `h`인 곳을 자른 면은 넓이가 같다. `\pi (r^2 - h^2 )` 따라서 부피도 같다. 반구의 부피 $V$라고 하면
$$\therefore V =\pi r^3 - \frac{1}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3$$

이제 그림과 같이 반지름이 `r`인 두 원기둥이 수직으로 만나 생기는 입체의 부피를 구해보자.

엇갈린 타원 뼈대에 원기둥면을 붙여 놓은 모양이다. 이 안에 내접하는 구를 넣고 잘랐다고 생각하면 아래 그림과 같다.

두 잘린 면은 각각 정사각형과 원이므로 넓이의 비는 `4r^2 :\pi r^2=4:\pi`이므로 입체의 부피($V$)는 $$V=\frac{4}{\pi} \frac{4}{3} \pi r^3 =\frac{16}{3} r^3$$이다.

정육면체 안에 위에 있는 도형이 들어 있다고 생각해도 결과는 같다.

사이클로이드 곡선 아래 넓이

사이클로이드 아래 넓이를 구해보자.

 

 

 

cycloid.ggb

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중심이 $t$ 이동했을 때 점 $P$는 점 $P_t$에 위치한다고 했을 때, 점 $P_t$를 지나고 $x$ 축에 평행인 직선이 원과 만나는 점을 $R_t$라고 하자. 선분 $\overline{P_t R_t}$의 길이는 같은 높이에 있는 원의 현과 길이가 같다. 따라서 두 점이 그리는 자취 사이의 넓이는 원과 넓이가 같다. 그러므로 사이클로이드 넓이는 $\displaystyle{2\times\big(\frac{\pi}{2}+ \frac{1}{2}\cdot \pi\cdot 2\big)=3\pi}$이다.

 

 

어떤가? 정말 아름답지 않은가?

 

https://ko.mathigon.org/course/circles/spheres-cones-cylinders#cavalieri

Spheres, Cones and Cylinders – Circles and Pi – Mathigon