1차 선형 미분방정식

1차 선형 미분방정식(first-order linear differential equation)은 아래와 같은 꼴로 정리되는 미분방정식이다. $$\frac{dy}{dx}+p(x)y=g(x)$$이 때, $P,Q$는 연속인 $x$의 함수다. $y$의 차수가 1차라서 선형으로 부른다. 만약 $\sin y$나 $e^y$와 같은 꼴이 함께 있다면 비선형이다. 1차 선형 미분방정식을 푸는 방법을 찾아보자.

왼쪽은 어떤 함수를 미분한 것인가를 찾는 것이다. $\displaystyle{\frac{dy}{dx}}$와 $y$가 함께 있는 꼴이 나오려면 곱의 미분법을 썼다고 생각할 수 있다. 따라서 양변에 적당한 적분인자 $v(x)$를 곱해서 적분하는 것을 생각할 수 있다.

 $$\frac{dy}{dx}+p(x)y=g(x)$$

 $$v(x)\frac{dy}{dx}+v(x)p(x)y=v(x)g(x)$$

 $$\frac{d}{dx}(v(x)y)=v(x)g(x)$$

 $$v(x)y=\int v(x)g(x)dx$$

 $$y=\frac{1}{v(x)}\int v(x)g(x)dx$$

결과에서 $P(x)$가 보이지 않는다. $v(x)>0$이라 가정하자.

$$\frac{d}{dx}(vy)=v\frac{dy}{dx}+Pvy$$가 되어야 한다. 다시 정리하면

$$v\frac{dy}{dx}+y\frac{v}{dx}=v\frac{dy}{dx}+Pvy$$

$$y\frac{dv}{dx}=Pvy$$

$$\frac{dv}{dx}=Pv$$

$$\frac{dv}{v}=Pdx$$

$$\int \frac{dv}{v}=\int Pdx$$

$$\ln v =\int Pdx$$

$$v=e^{\int P dx}$$

마지막으로 다시 정리하면 적분인자 1차 선형 미분방정식은 $v=e^{\int P dx}$를 곱하여 적분한다.

보기 다음 미분방정식을 풀어라.

$$x\frac{dy}{dx}=x^2 +3y,\quad x>0$$

풀이 정리하면 아래와 같으므로 1차 선형 미분방정식이다.

$$\frac{dy}{dx}-\frac{3}{x}y=x $$

$\displaystyle{P(x)=-\frac{3}{x}}$이므로 적분인자는 

$$v(x)=e^{\int(-3/x)dx}=e^{-3\ln x}=x^{-3}$$

이다. 양변에 $x^{-3}$을 곱하면

$$x^{-3}\frac{dy}{dx}-3x^{-4}y=x^{-2}$$

$$\frac{d}{dx}(x^{-3}y)=x^{-2}$$

$$x^{-3}y=\int x^{-2}dx$$

$$x^{-3}y=-\frac{1}{x}+C$$

$$y=-x^2+Cx^3, \quad x>0$$